§ 3. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ПРИ БОЛЬШИХ ВРЕМЕНАХ

1. Примеры.

Начнем с простых примеров, показывающих самое различное поведение при решения уравнений на графах. Во всех примерах мы считали

I. Пример безбалансной системы:

Решение соответствующей системы уравнений:

с начальным условием имеет вид

Здесь при Таким образом, в безбалансных системах возможны неограниченно растущие решения.

II. Пример неединственности стационарного решения

Эта система имеет материальные балансы

где положительные начальные данные для Начальные условия для считаются нулевыми.

Мы будем интересоваться стационарным решением, удовлетворяющим соотношениям (1.1), так как только такое стационарное решение может быть предельным значением решения при . К соотношениям (1.1) нужно присоединить еще уравнения т. е.

Если то и из (1.1) однозначно находятся

причем такая ситуация возможна лишь при Предположим, что Тогда при любом а из интервала

уравнениям (1.1), (1.2) удовлетворяют неотрицательные величины

Получается однопараметрическое семейство стационарных решений. Какое из решений (1.4) будет пределом решения при оказывается, зависит от констант скоростей точнее, от их отношения В самом деле, из закона изменения и

легко вытекает соотношение

которое, естественно, сохраняется и на установившемся решении. Значения (1.4) для удовлетворяют (1.5) при

Легко показать, что при таком выборе величины (1.4) действительно являются пределами при Таким образом, неединственность стационарного решения открывает возможность определять связи между константами скоростей. В данном примере по наблюдаемым значениям установившихся величин при условии но формулам (1.4), (1.6) определяется отношение констант скоростей. В общем случае можно определить столько связей между константами, сколько параметров, от которых зависит стационарное решение. III. Примеры периодических решений.

1. Система Вольтера — Лотка. При описании некоторых биологических процессов [23] возникает система уравнений

являющаяся системой уравнений на графе

Интегрирование (1.7) показывает, что в плоскости траектории системы описываются уравнением

Функция положительна в квадранте и обращается в нуль как на его границе, так и при В точке являющейся точкой равновесия системы (1.7) типа «центр», функция достигает максимального значения Очевидно, при любом кривая (1.9) является замкнутой траекторией, описываемой периодическим решением системы (1.7).

Уравнения (1.7) не подчиняются линейным балансным соотношениям. В связи с этим возникает вопрос, возможны ли периодические решения в балансной системе уравнений. Следующий пример дает утвердительный ответ на этот вопрос.

2. Пример Ивановой.

Помимо балансного соотношения

соответствующая (1.10) система уравнений

имеет, как нетрудно видеть, первый интеграл

Исключая из (1.11) — (1-13), приходим к соотношению

описывающему траектории в плоскости первых двух уравнений системы (1.12). Функция обращается в нуль на границе области

и принимает максимальное положительное значение во внутренней точке этой области (в точке равновесия (1.12)). Поэтому все траектории вида (1.14) при являются замкнутыми кривыми в плоскости и им отвечают периодические решения системы (1.12).

Схемы химических реакций обычно обладают тем свойством, что вещество, вступающее в реакцию, не входит в число продуктов этой реакции, т. е. для каждой пары значений

Схемы (1.8) и (1.10) этим свойством не обладают. Такие схемы получаются, например, при описании автокаталитических процессов как результат асимптотики по большим константам в системах, удовлетворяющих условию (1.15).

Как показала Иванова на примере следующей системы:

приводящей при к системе (1.10), незатухающие колебательные режимы возможны и в системах, удовлетворяющих условию (1.15).

Наличие периодических решений в системах (1.8) и (1.10) является следствием цикличности графов. Хотя наличие циклов не всегда приводит к периодическим решениям, тем не менее оно является необходимым условием существования таких решений. В следующем пункте будет показано, что на ациклических графах периодические решения не возникают.