8. Положительно-определенные функционалы.

Мы укажем здесь одно условие однозначной разрешимости задачи . С этой целью введем следующее определение.

Определение. Функционал называется положительно-определенным в пространстве если для любой функции и имеет место неравенство

Для функционала заданного равенством (1.3), мы укажем явное условие положительной определенности. При этом будем предполагать, что функции имеют ограниченные производные и множество связное.

Теорема 1. Пусть выполняется условие эллиптичности

при почти всех и всех векторах Пусть, далее, имеют место неравенства

почти всюду в и

почти всюду по мере на

Пусть, наконец, либо либо одно из неравенств (8.2) или (8.3) превращается в строгое неравенство на множестве положительной меры -мерной для (8.2) и -мерной для (8.3)).

Тогда функционал задаваемый равенством является положительно-определенным.

Доказательство. Интегрированием по частям получаем

Отсюда следует, что

Ясно, что при выполнении условий (8.1) — (8.3) мы имеем

Остается доказать, что из условия

следует, что Из (8.5) с учетом (8.1) и (8.3) получаем

почти всюду в Поэтому есть константа. Из условия теоремы и (8.5) видно, что эта константа равна нулю. Теорема доказана.

Теорема 2. Если функционал положительно-определенный, то задача А однозначно разрешима при любой правой части

Доказательство. Если и есть решение задачи то, полагая в получим откуда и Следовательно, задача имеет только нулевое решение, и остается воспользоваться первой теоремой Фредгольма.