7. Теоремы Фредгольма.

Здесь будут сформулированы и доказаны основные теоремы о разрешимости задачи А в предположении сильной эллиптичности

Для понимания материала этого пункта необходимо знание теорем Фредгольма для уравнений с вполне непрерывными операторами, изложенных в приложении к этой главе.

Напомним, что задача А и сопряженная задача А были сформулированы в п. 2. Наряду с ними мы будем рассматривать соответствующие однородные задачи, т. е. такие, для которых функции и а также функционалы равны нулю. Эти задачи будем обозначать о соответственно. Так как функция являющаяся решением задачи , удовлетворяет граничному условию (2.3) и принадлежит пространству то по определению пространства

(см. п. 2) эта функция принадлежит последнему. Поэтому ясно, что задача А о может быть сформулирована следующим образом.

Задача Найти функцию и, принадлежащую пространству и удовлетворяющую уравнению

для всех функций принадлежащих пространству

Совершенно аналогично может быть сформулирована сопряженная однородная задача.

Задача Найти функцию принадлежащую пространству и удовлетворяющую уравнению

для всех функций и, принадлежащих пространству

Мы можем теперь сформулировать основные теоремы.

Теорема 1. Для разрешимости задачи А при любой функции и любом функционале необходимо и достаточно, чтобы соответствующая однородная задача о имела только нулевое решение.

Теорема 2. Однородные задачи имеют конечные и равные между собой числа линейно-независимых решений.

Теорема 3. Для разрешимости задачи А при заданной функции и заданном функционале необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

для всех решений задачи

Аналогичные теоремы, сформулированные и доказанные впервые для интегральных уравнений Фредгольмом, и, как было потом обнаружено, справедливые и для более широкого класса уравнений, называются теоремами Фредгольма.

Перейдем к доказательству их. Начнем с теоремы 2. Пусть и есть решение задачи . В силу определения пространства (см. п. 4) функция есть также элемент пространства Поэтому для любых имеет место (5.8). Следовательно, на основании (7.1)

Это равенство можно записать также в виде

Ввиду произвольности мы получаем отсюда

Но оператор I вложения пространства в пространство является вполне непрерывным оператором Следовательно, I есть также вполне непрерывный оператор, действующий из пространства в пространство (см. п. III.4.2). Далее, как показано в п. 5, оператор В есть ограниченный оператор, действующий из в Следовательно, оператор есть вполне непрерывный оператор, действующий в пространстве так как он является произведением вполне непрерывного на ограниченный оператор (см. п. III.4.2).

Итак, мы показали, что каждое решение задачи рассматриваемое как элемент пространства является решением уравнения (7.6) с вполне непрерывным оператором.

Проведя рассуждение в обратном порядке, т. е. переходя от (7.6) к (7.5), (7.4) и (7.1), мы получим, что каждое решение и уравнения (7.6), если его рассматривать как элемент пространства является решением задачи

Отсюда сразу следует, что пространство решений задачи конечномерно и его размерность совпадает с размерностью пространства

решений уравнения (7.6). При этом мы воспользовались второй теоремой Фредгольма для уравнений с вполне непрерывным оператором (см. приложение).

Мы можем провести точно такие же рассуждения для задачи При этом мы получим равенство (7.4), где есть решение задачи рассматриваемое как элемент пространства — произвольный элемент пространства Из (7.4) следует равенство

Ввиду произвольности получаем отсюда

Таким образом, каждое решение задачи рассматриваемое как элемент пространства является решением уравнения (7.8), и обратно, каждое решение уравнения (7.8), рассматриваемое как элемент пространства является решением задачи

Но уравнение (7.8) является сопряженным к (7.6). Поэтому, пользуясь второй теоремой Фредгольма для уравнений с вполне непрерывными операторами, мы можем утверждать, что пространство решений задачи конечномерно и его размерность совпадает с размерностью пространства решений задачи Теорема 2 доказана.

Перейдем к доказательству третьей теоремы. Пусть задача разрешима и —ее решение. Рассмотрим функцию

Эта функция принадлежит пространству Далее, для любой функции принадлежащей на основании (2.5) получаем

Если есть решение задачи то по определению решения Отсюда и из (7.10) получаем (7.3). Необходимость условия (7.3) для разрешимости задачи доказана.

Перейдем к доказательству достаточности этого условия. Ясно, что есть линейный ограниченный функционал в пространстве (по элементу Поэтому

есть также линейный ограниченный функционал в пространстве Но так как нормы в пространствах эквивалентны (см. п. 4), то есть также линейный ограниченный функционал в пространстве По теореме об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве (см. п. III.2.4) существует такой элемент что

при

Пусть для любого решения задачи имеет место равенство (7.3). Тогда из (7.11) и (7.12), рассматривая как элемент пространства получим

Учитывая связь между решениями задачи и уравнения (7.8), указанную при доказательстве теоремы 2, мы можем заключить, что равенство (7.13) выполняется для всех решений уравнения (7.8). На основании третьей теоремы Фредгольма для уравнений с вполне непрерывными операторами (см. п. 8.2), примененной к уравнению

мы заключаем, что это уравнение имеет решение Умножим скалярно на произвольный элемент пространства Тогда с учетом (7.12) и (7.11) будем иметь

Применяя теорему п. 5, получим

Это равенство остается справедливым, если считать функциями из Положим Получим

Так как то и поэтому

Равенства (7.17) и (7.18) означают, что и есть решение задачи А. Таким образом, мы доказали разрешимость задачи А. Теорема 3 доказана.

Докажем первую теорему. Она фактически является следствием второй и третьей. Действительно, пусть задача имеет только нулевое решение. Тогда по второй теореме мы можем сделать тот же вывод и для задачи Поэтому на основании третьей теоремы имеет место разрешимость задачи А при всех и всех

Обратно, пусть имеет место разрешимость задачи А при всех есть решение задачи Положим Тогда по третьей теореме

для любого Но это значит, что Таким образом, задача имеет только нулевое решение. В силу второй теоремы задача о имеет также только нулевое решение.

Итак, все три теоремы Фредгольма доказаны.

В качестве примера применения этих теорем вернемся к задаче, рассмотренной в п. 6. Мы видим, что при выполнении условия (6.8) всюду на 5 и (6.14) на множестве положительной меры однородная задача имеет только нулевое решение. Теперь мы можем утверждать на основании первой теоремы Фредгольма, что решение задачи (6.5) существует при всех В частности, ясно, что это имеет место, когда имеет вид (6.4), а функция суммируема в квадрате на 5. Таким образом, задача (6.1), (6.2) разрешима (в обобщенном смысле) для любой функции

В случае (6.15), как было показано, однородная задача имеет одно линейно-независимое решение (произвольную константу). В рассматриваемом случае однородная задача совпадает с сопряженной однородной задачей. По третьей теореме Фредгольма легко понять, что необходимым и достаточным условием разрешимости задачи (6.1), (6.2) при является обращение в нуль интеграла (6.16).