(см. п. 2) эта функция принадлежит последнему. Поэтому ясно, что задача А о может быть сформулирована следующим образом.
Задача Найти функцию и, принадлежащую пространству
и удовлетворяющую уравнению
для всех функций
принадлежащих пространству
Совершенно аналогично может быть сформулирована сопряженная однородная задача.
Задача
Найти функцию
принадлежащую пространству
и удовлетворяющую уравнению
для всех функций и, принадлежащих пространству
Мы можем теперь сформулировать основные теоремы.
Теорема 1. Для разрешимости задачи А при любой функции
и любом функционале
необходимо и достаточно, чтобы соответствующая однородная задача
о имела только нулевое решение.
Теорема 2. Однородные задачи
имеют конечные и равные между собой числа линейно-независимых решений.
Теорема 3. Для разрешимости задачи А при заданной функции
и заданном функционале
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
для всех решений
задачи
Аналогичные теоремы, сформулированные и доказанные впервые для интегральных уравнений Фредгольмом, и, как было потом обнаружено, справедливые и для более широкого класса уравнений, называются теоремами Фредгольма.
Перейдем к доказательству их. Начнем с теоремы 2. Пусть и есть решение задачи
. В силу определения пространства
(см. п. 4) функция
есть также элемент пространства
Поэтому для любых
имеет место (5.8). Следовательно, на основании (7.1)
Это равенство можно записать также в виде
Ввиду произвольности
мы получаем отсюда
Но оператор I вложения пространства
в пространство
является вполне непрерывным оператором
Следовательно, I есть также вполне непрерывный оператор, действующий из пространства
в пространство
(см. п. III.4.2). Далее, как показано в п. 5, оператор В есть ограниченный оператор, действующий из
в
Следовательно, оператор
есть вполне непрерывный оператор, действующий в пространстве
так как он является произведением вполне непрерывного на ограниченный оператор (см. п. III.4.2).
Итак, мы показали, что каждое решение задачи
рассматриваемое как элемент пространства
является решением уравнения (7.6) с вполне непрерывным оператором.
Проведя рассуждение в обратном порядке, т. е. переходя от (7.6) к (7.5), (7.4) и (7.1), мы получим, что каждое решение и уравнения (7.6), если его рассматривать как элемент пространства
является решением задачи
Отсюда сразу следует, что пространство решений задачи
конечномерно и его размерность совпадает с размерностью пространства
решений уравнения (7.6). При этом мы воспользовались второй теоремой Фредгольма для уравнений с вполне непрерывным оператором (см. приложение).
Мы можем провести точно такие же рассуждения для задачи
При этом мы получим равенство (7.4), где
есть решение задачи
рассматриваемое как элемент пространства
— произвольный элемент пространства
Из (7.4) следует равенство
Ввиду произвольности
получаем отсюда
Таким образом, каждое решение
задачи
рассматриваемое как элемент пространства
является решением уравнения (7.8), и обратно, каждое решение уравнения (7.8), рассматриваемое как элемент пространства
является решением задачи
Но уравнение (7.8) является сопряженным к (7.6). Поэтому, пользуясь второй теоремой Фредгольма для уравнений с вполне непрерывными операторами, мы можем утверждать, что пространство решений задачи
конечномерно и его размерность совпадает с размерностью пространства решений задачи
Теорема 2 доказана.
Перейдем к доказательству третьей теоремы. Пусть задача
разрешима и
—ее решение. Рассмотрим функцию
Эта функция принадлежит пространству
Далее, для любой функции
принадлежащей
на основании (2.5) получаем
Если
есть решение задачи
то по определению решения
Отсюда и из (7.10) получаем (7.3). Необходимость условия (7.3) для разрешимости задачи
доказана.
Перейдем к доказательству достаточности этого условия. Ясно, что
есть линейный ограниченный функционал в пространстве
(по элементу
Поэтому
есть также линейный ограниченный функционал в пространстве
Но так как нормы в пространствах
эквивалентны (см. п. 4), то
есть также линейный ограниченный функционал в пространстве
По теореме об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве (см. п. III.2.4) существует такой элемент
что
при
Пусть для любого решения
задачи
имеет место равенство (7.3). Тогда из (7.11) и (7.12), рассматривая
как элемент пространства
получим
Учитывая связь между решениями задачи
и уравнения (7.8), указанную при доказательстве теоремы 2, мы можем заключить, что равенство (7.13) выполняется для всех решений
уравнения (7.8). На основании третьей теоремы Фредгольма для уравнений с вполне непрерывными операторами (см. п. 8.2), примененной к уравнению
мы заключаем, что это уравнение имеет решение
Умножим
скалярно на произвольный элемент
пространства
Тогда с учетом (7.12) и (7.11) будем иметь
Применяя теорему п. 5, получим
Это равенство остается справедливым, если
считать функциями из
Положим
Получим
Так как
то
и поэтому
Равенства (7.17) и (7.18) означают, что и есть решение задачи А. Таким образом, мы доказали разрешимость задачи А. Теорема 3 доказана.
Докажем первую теорему. Она фактически является следствием второй и третьей. Действительно, пусть задача
имеет только нулевое решение. Тогда по второй теореме мы можем сделать тот же вывод и для задачи
Поэтому на основании третьей теоремы имеет место разрешимость задачи А при всех
и всех
Обратно, пусть имеет место разрешимость задачи А при всех
есть решение задачи
Положим
Тогда по третьей теореме
для любого
Но это значит, что
Таким образом, задача
имеет только нулевое решение. В силу второй теоремы задача
о имеет также только нулевое решение.
Итак, все три теоремы Фредгольма доказаны.
В качестве примера применения этих теорем вернемся к задаче, рассмотренной в п. 6. Мы видим, что при выполнении условия (6.8) всюду на 5 и (6.14) на множестве положительной меры однородная задача имеет только нулевое решение. Теперь мы можем утверждать на основании первой теоремы Фредгольма, что решение задачи (6.5) существует при всех
В частности, ясно, что это имеет место, когда
имеет вид (6.4), а функция
суммируема в квадрате на 5. Таким образом, задача (6.1), (6.2) разрешима (в обобщенном смысле) для любой функции
В случае (6.15), как было показано, однородная задача имеет одно линейно-независимое решение (произвольную константу). В рассматриваемом случае однородная задача совпадает с сопряженной однородной задачей. По третьей теореме Фредгольма легко понять, что необходимым и достаточным условием разрешимости задачи (6.1), (6.2) при
является обращение в нуль интеграла (6.16).