Глава X. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МАКРОКИНЕТИКИ

§ 1. ПРОСТЕЙШАЯ МОДЕЛЬ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ПРОТЕКАНИЯ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ

1. Основные уравнения.

Многие важные особенности процессов горения выявляются уже при исследовании простейшей макрокинетической модели протекания экзотермической химической реакции в неподвижной среде. Предполагается, что реакция не сопровождается фазовыми превращениями и является одностадийной и необратимой. Физические свойства среды (теплопроводность теплоемкость с, плотность коэффициент диффузии считаются постоянными. Скорость химической реакции задается формулой

где температура, глубина превращения горючей компоненты. Температурная зависимость описывается законом Аррениуса

где энергия активации; универсальная постоянная.

Функция выражает закон протекания реакции в изотермических условиях. Чаще всего полагают:

реакция -го порядка;

- автокаталитическая реакция первого порядка, где критерий автокаталитичности (отношение начальной скорости реакции к автокаталитической константе). Отметим, что самоускорение реакции (возрастание с ростом наблюдается при и происходит в интервале

Такая модель химической реакции описывается системой уравнений: уравнением теплового баланса

где тепловой эффект реакции плотность химических источников тепла); время; А — оператор Лапласа, и уравнением расхода горючего компонента

Если существенна диффузия горючего компонента, то последнее уравнение следует записать в виде

Величина есть относительная концентрация горючего компонента: Если, например, среда состоит из смеси горючего компонента с плотностью и продукта реакции (инертного) с плотностью то В силу этого нет необходимости описывать изменение продукта реакции дифференциальным уравнением.

Величины безразмерны. Следуя Франк-Каменецкому [53], введем безразмерные величины

где некоторая температура, диктуемая обычно конкретными условиями задачи. Если реакционный объем характеризуется некоторым линейным размером то можно ввести безразмерные координаты исходные координаты)

и задача содержит еще один безразмерный параметр

Уравнения (1.1), (1.2) в этих переменных принимают вид

а уравнение (1.3)

Если задача не содержит параметра размерности длины (например, когда задача рассматривается во всем пространстве), в качестве безразмерных координат можно взять

Вид уравнений (1.7) — (1.9) сохраняется, только без параметра всюду в (1.7) — (1.9) следует считать

Удобство введенной параметризации состоит в том, что при естественном выборе для процессов горения характерным оказывается малость параметров . Уравнения (1.7) — (1.9), описывающие процесс неизотермического протекания реакции, не представляют особого интереса при больших значениях , когда реакция быстро затухает за счет выгорания активного продукта.

При малых значениях химическая реакция, раз начавшись, способна длительное время сама себя поддерживать и ускоряться за счет повышения температуры и диффузии активного продукта. Такой процесс протекания реакции естественно называть горением. Уместно отметить возможность горения в изотермических условиях («холодные пламена»), когда химическая реакция имеет цепной разветвленный характер и поддерживается в основном за счет диффузии активных продуктов. В отличие от теплового такой механизм горения называют цепным или диффузионным. Уравнение (1.9) при в случае автокаталитической реакции формально описывает некоторую модель изотермического горения.

Изучение таких явлений горения, как тепловой взрыв (самовоспламенение), зажигание (вынужденное воспламенение), распространение пламени, в рамках уравнений (1.7), (1.8) (или (1.7), математически сводится к исследованию различных постановок начальных и граничных условий.