5. Структура функций, принадлежащих пространству BV.

Пусть функция, заданная в и принадлежащая пространству По самому определению пространства как множества суммируемых функций, обобщенные производные которых являются мерами, функция задается с точностью до значений на мйожестве -мерной меры нуль).

Для различных целей: дифференцирование, интегральные формулы, постановка граничных задач и т. д.—эти функции должны быть доопределены так, чтобы они были известны всюду, за исключением, быть может, множества -мерной меры нуль. Это значит, например, что если то существенны значения функций на двумерных поверхностях и не существенны их значения на конечном или счетном числе линий (и вообще на множестве двумерной меры нуль).

Дадим некоторые пояснения (более подробно эти вопросы, связанные с дифференцированием, рассматриваются в дальнейшем в этой главе, с интегральными формулами — в гл. V, с граничными задачами — в гл. VII и VIII). При дифференцировании функций, принадлежащих пространству мы получаем меры, которые могут быть сосредоточены на множествах -мерной меры нуль. Например, производные характеристических функций множеств с конечным периметром сосредоточены на существенных границах этих множеств. Это же относится и к простым функциям, рассмотренным в предыдущем пункте. Оказывается, что меры, которые получаются дифференцированием функций из обращаются в нуль на множествах -мерной меры нуль. Для построения аппарата дифференцирования в пространствах нам понадобится интегрировать функции по мерам — производным функций из Поэтому для нас будут существенны значения функций всюду, за исключением, быть может, множества -мерной меры нуль.

Интегральные формулы (например, формула Грина), связывающие интегралы от производных по некоторым -мерным множествам с интегралами от функций по существенным границам этих множеств, требуют определения значений этих функций на указанных границах с точностью до значений на множествах -мерной меры нуль. С аналогичной ситуацией мы встречаемся и при постановке граничных задач, когда нужно задавать значения искомых функций на границах -мерных областей, и во многих других случаях.

Итак, перед нами возникает вопрос, как из класса эквивалентных между собой функций, т. е. функций, отличающихся друг от друга на множестве -мерной меры нуль, выбрать представителя, определенного с точностью до значений на множестве -мерной меры нуль. Во всех упомянутых выше случаях такой выбор можно производить с помощью аппроксимативного предела. Мы уже говорили о том, что суммируемые функции аппроксимативно непрерывны почти всюду по

-мерной мере. Поэтому, считая функцию равной ее аппроксимативному пределу во всех точках, в которых он существует, мы получим функцию, совпадающую с заданной, на множестве полной n-мерной меры. Однако таким способом мы не получим полного ответа на поставленный вопрос, так как множество точек, в которых отсутствует аппроксимативный предел, может иметь положительную (и даже бесконечную) -мерную меру. Например, функция равная единице почти всюду в шаре и равная нулю почти всюду вне этого шара, указанным способом определяется всюду, кроме сферы В точках этой сферы функцию таким способом доопределить невозможно. Более того, не имея никакой дополнительной информации о функции, мы вообще не можем этого сделать.

Мы не будем сейчас обсуждать вопрос, какая именно дополнительная информация о функции должна быть известна для ее доопределения на множествах точек, в которых отсутствует аппроксимативный предел этой функции. Это будет делаться в дальнейшем в зависимости от того, какая задача решается. Здесь же мы хотим подчеркнуть, что во всех тех случаях, которые будут встречаться в дальнейшем, доопределение функции, использующее дополнительную информацию о ней, будет производиться с помощью аппроксимативных пределов т. е. в регулярных точках этой функции (см. п. 4.4). Поэтому важными являются классы функций, для которых все точки, за исключением быть может, множества -мерной меры нуль, являются регулярными. Следующая теорема показывает, что функции, принадлежащие пространству образуют именно такой класс функций.

Теорема. Пусть вектор-функция, принадлежащая пространству Тогда множество точек, не являющихся регулярными точками этой вектор-функции, имеют -мерную меру нуль.

Доказательство этой теоремы проведем, опуская некоторые детали, для случая финитной ограниченной функции Полное доказательство приведено в [12].

Пусть

Обозначим

При почти всех множества имеют конечный периметр Разделим отрезок на части конечным числом точек деления так, чтобы множества имели конечный периметр и чтобы расстояние между соседними точками деления было меньше заданного положительного числа

Так как разность двух множеств с конечным периметром есть также множество с конечным периметром то множества

также являются множествами с конечным периметром. Простая функция

где характеристическая функция множества отличается от функции меньше, чем на Множества (5.3) производят разбиение пространства структура которого описана в предыдущем пункте (теорема 2).

Будем проводить последовательные разбиения отрезка точками деления так, как это было указано выше, дополнительно требуя, чтобы каждое следующее разбиение было подразделением предыдущего и чтобы стремилось к нулю. Тогда получится последовательность простых функций (5.4), равномерно сходящаяся к функции Далее

образуется последовательность разбиений пространства множествами (5.3), каждое из которых является подразделением предыдущего. Пользуясь теоремой 2 п. 4, можно доказать, что все точки пространства за исключением точек некоторого множества -мерной меры нуль, делятся на два множества К множеству А относятся точки, которые во всех последовательных разбиениях принадлежат множествам вида множеству В относятся точки, которые, начиная с некоторого разбиения, принадлежат множествам вида и для которых нормаль а к не меняется в последующих разбиениях. В точках множества А существует аппроксимативный предел функции так как он существует для всех простых функций (5.4) (см. п. 4, теорему 3) и последовательность простых функций сходится равномерно. Для точек множества В по той же причине существуют аппроксимативные пределы где а — указанная выше нормаль. Таким образом, множество состоит из регулярных точек функции следует утверждение теоремы.

Из теоремы следует, что если задана функция принадлежащая пространству то множество всех точек пространства за исключением, быть может, множества -мерной меры нуль, состоит из точек аппроксимативной непрерывности и точек скачка этой функции Обозначим множество точек скачка функции через В каждой точке этого множества существует определяющий вектор а (см. п. 4.4), заданный однозначно (с точностью до знака).

Дадим следующее определение.

Определение. Нормалью к множеству точек скачка функции в точке называется определяющий вектор функции в этой точке.

Примеры Пусть множество с конечным периметром, -характеристическая функция этого множества Из теоремы п. 2 и ее доказательства, а также из теоремы следует, что множество совпадает с существенной границей множества с точностью до множества -мерной меры пуль. Нормаль к в смысле данного здесь определения совпадает с нормалью к в смысле определения п. 2

2. Мы рассмотрим функцию, имеющую [ладкую поверхность разрывов, и покажем, что нормаль к этой поверхности в ее обычном определении совпадает с нормалью в смысле определения этого пункта

Именно, пусть открытое множество, заданное неравенством (2 3), от крытое множество, заданное неравенством

— множество, заданное уравнением (2 4) Будем предполагать выполненным условие (2 5) Тогда в каждой точке существует нормаль (2 6)

Пусть на множествах заданы непрерывные функции соответственно Предположим, что в каждой точке имеет место неравенство Рассмотрим функцию

Ясно, что во всех точках функция непрерывна. Легко проверяется, что во всех точках

где а — вектор (2 6). Следовательно, точка скачка функции — определяющий вектор Мы получим, таким образом, что и нормаль в смысле определения этого пункта совпадает с (2 6)

Можно показать (см. п. V.1.6), что для любой функции множество точек скачка может быть покрыто последовательностью множеств, каждое из которых является существенной границей множен ства с конечным периметром. Для каждого такого множества существует нормаль в смысле определения п. 2. Оказывается, что с точностью до множества -мерной меры нуль во всех точках множества

нормаль в смысле определения этого пункта совпадает с нормалью к покрывающему множеству.

Резюмируя сказанное в этом пункте, мы можем сформулировать следующее утверждение о структуре функции принадлежащей пространству (меняя в случае надобности ее значения на множестве -мерной меры нуль и пренебрегая ее значениями на множествах -мерной меры нуль). Функция аппроксимативно непрерывна всех точках, за исключением некоторого множества . В каждой точке определен вектор а — нормаль к этому множеству, причем существуют аппроксимативные пределы