2. Действия над матрицами.

В п. 4.10 были определены действия над функциями со значениями в линейном пространстве. Нетрудно понять, что те правила сложения матриц и умножения матрицы на число, которые будут здесь определены, соответствуют указанным действиям над функциями, задаваемыми равенством (1.2).

1. Пусть даны две матрицы одинаковых размеров Суммой матриц называется матрица тех же размеров, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц т. е. если Например,

Обратим внимание на то, что складываться могут только матрицы одинаковых размеров.

2. Пусть а — число, вещественное или комплексное в зависимости от того, является матрица А вещественной или комплексной. Произведением матрицы на число а называется матрица элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число а, т. е. если

Например,

Обозначим через множество всех матриц размера Мы видим, что на множестве определены действия сложения и умножения на числа так, что в результате получаются элементы того же множества. Легко проверить, что выполняются все аксиомы линейного пространства (см. п. 2.2). Таким образом, множество есть линейное пространство. Нулевым элементом (нулевой матрицей) является матрица, все элементы которой равны нулю. Из сказанного следует, что матрицы переносятся все правила действия над элементами линейного пространства, указанные в п. 2.4. В частности, разность двух матриц получается вычитанием соответствующих элементов матрицы.

3. Определим умножение матриц. Пусть даны две матрицы размера размера Рассмотрим соответствующие функции: В действует из А действует из В результате последовательного применения этих функций получится функция С, действующая из Эту функцию будем называть произведением А на В. Выразим это на языке матриц. Имеем:

Подстановка приводит к равенству

Таким образом, функция С может быть задана с помощью матрицы размера элементы которой определяются равенствами

Это приводит к следующему правилу умножения матриц. Произведением

матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера элементы которой задаются равенствами (2.1).

Заметим, что умножение матрицы А на матрицу В возможно только в том случае, когда число элементов в строках матрицы А равно чиислу элементов в столбцах матрицы В. При этом (см. (2.1)) элемент

произведения есть скалярное произведение строки матрицы А на 1-ю строку матрицы В, рассматриваемых как векторы координатного пространства

Умножение матриц не обладает свойством коммутативности, т. е. даже в том случае, когда оба произведения имеют смысл (размеры матриц допускают умножение). В этом можно убедиться на простейшем примере

Конечно, это не исключает того, что для некоторых" матриц имеет место равенство

Такие матрицы называются перестановочными, или коммутирующими.

Для умножений матриц имеют место ассоциативный и дистрибутивный законы:

в предположении, что размеры матриц допускают указанные действия. Рекомендуем читателю самостоятельно проверить эти равенства и распространить их на случай большего числа слагаемых и сомножителей.

4. Квадратная матрица порядка

у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы нули, называется единичной матрицей порядка Это название связано с тем, что для любой матрицы А размера и матрицы В размера имеют место равенства: