2. Задача А.

Мы сформулируем здесь точную постановку граничной задачи, исследованию которой и будет посвящена вся дальнейшая часть этой главы.

Начнем с описания классов функций, в которых будет решаться эта задача, и области в которой она рассматривается.

Будем считать, что есть ограниченное открытое связное множество с конечным периметром, принадлежащее пространству (см. п. IV.2.1). Существенную границу множества будем обозначать через

Мы будем, далее, предполагать, что заданы два множества измеримых по мере Хаусдорфа причем

Будет рассматриваться функционал задаваемый равенством (1.3). Предполагается, что коэффициенты являются ограниченными измеримыми по мере Лебега на множестве функциями, ограниченна и измерима на по мере

Функционал будет рассматриваться на функциях, принадлежащих пространству Это пространство определено в Для удобства приведем это определение еще раз. Пространство есть пространство функций заданных в равных нулю вне множества и удовлетворяющих следующим условиям:

2) имеет суммируемые в квадрате обобщенные производные в G;

3) суммируемо в квадрате по мере на 5.

Здесь - внутренний след функции на 5 (см. п. V.1.2).

Норму в пространстве будем обозначать так что

В дальнейшем важную роль будет играть пространство функций, которое мы будем обозначать через и которое определяется следующим образом.

Пространство есть подпространство пространства состоящее из функций удовлетворяющих условию

Сформулируем теперь задачу А.

Задача А. Найти функцию и, принадлежащую пространству удовлетворяющую граничному условию

и уравнению

для всех функций принадлежащих пространству

Здесь заданная функция, принадлежащая пространству а -заданный линейный ограниченный функционал в пространстве Другими словами, заданный элемент пространства заданный элемент сопряженного пространства

Наряду с задачей А мы будем рассматривать сопряженную задачу, которую будем обозначать А и которая формулируется следующим образом.

Задача А. Найти функцию принадлежащие пространству удовлетворяющую граничному условию

и уравнению

для всех функций и, принадлежащих пространству

Здесь заданные элементы пространства и сопряженного пространства соответственно.

Возникает вопрос, как связана эта задача с первоначальной постановкой сопряженной задачи, сформулированной в п. 1.4. Оказывается, что если применить те же рассуждения, которые были проведены в п. 1, к задаче А в ее старой постановке, то мы придем к новой постановке этой задачи именно в том виде, в котором она сейчас была сформулирована.

Заметим, что в постановке обеих задач фигурирует один и тот же билинейный функционал однако в задаче А он фигурирует как линейный функционал по второму аргументу, в задаче А — по первому.

В тех постановках граничных задач, которые приводились в п. 1.2, всегда шла речь о нахождении решения уравнения (1.1.5)

удовлетворяющего граничным условиям.

В обобщенной постановке задачи А, сформулированной в этом пункте. явно нет речи о решении уравнения (2.8). В действительности, однако, и здесь фактически ищется решение уравнения (2.8), но только обобщенное, определение которого сейчас будет дано.

Определение. Обобщенным решением уравнения (2.8) на множестве называется функция принадлежащая пространству такая, что

для всех финитных в функций принадлежащих пространству

Требование финитности функции сразу же снимает влияние граничных условий, так как в функционале (1.3) при этом второй интеграл обращается в нуль.

Ясно, что каждое решение задачи А для функционала вида (1.4) есть обобщенное решение уравнения (2.8).