4. Неравенство Коши-Буняковского.
В трехмерном евклидовом пространстве 
скалярное произведение введено равенством (1.2) при 
аналитической геометрии доказывается, что такое определение эквивалентно следующему:
где 
угол между векторами 
Таким образом, при 
ото равенство можно принять за определение угла между векторами 
в произвольном евклидовом пространстве. Для того чтобы такое определение имело смысл, необходимо, чтобы правая часть (4.1) по гбсолютной величине не превосходила единицу. Это следует из нераренства
справедливого для любых двух векторов х и у евклидова пространства. Неравенство (4.2) называется неравенством Крши-Буняковского.
Докажем, это неравенство. Если 
то 
и (4.2) очевидно. Пусть 
Тогда, подставив число 
равенство
получим
Так как левая часть неотрицательна, то
откуда следует (4.2).
Будем называть угол 
определяемый равенством (4.1),
углом между векторами х и у (при этом предполагается, что 
В частности, если 
то 
В этом случае векторы х и у называются ортогональными.
Примеры. 1. В пространстве 
со скалярным произведением (1.2) неравенство (4.2) имеет вид 
2. В пространстве 
со скалярным произведением (1.3) получаем
Упражнение. Пользуясь неравенствами (4.3) и (4.4), доказать неравенства
