§ 4. ПОЛОЖЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ. ПОНЯТИЕ О ПРЕДЕЛЬНОМ ЦИКЛЕ

1. Классификация особых точек.

В случае двух линейных уравнений

возможна простая классификация особой точки в зависимости от структуры матрицы коэффициентов

Качественный характер особой точки не зависит от выбора системы координат и определяется только инвариантами матрицы а. Основными инвариантами являются:

след матрицы

определитель матрицы а.

Собственные значения матрицы а являются корнями характеристического уравнения

Корни и удовлетворяют соотношениям:

Ниже мы увидим, что инварианты полностью определяют характер особой точки за исключением, возможно, случая кратного корня Рассмотрим всевозможные комбинации знаков

I. . В этом случае корни не могут быть комплексными, так как в противном случае Таким образом, действительны и имеют разные знаки. Точка в этом случае неустойчива и принадлежит, как принято называть, к типу «седло». Пусть а

— соответствующие им собственные векторы матрицы а. Фундаментальную систему решений (1.1) образуют векторы

На фазовой плоскости эти решения определяют прямые линии

проходящие через точку причем вдоль первой прямой решения входят в точку при а вдоль второй уходят от начала координат. Эти прямые называются сепаратрисами точки Точка и лучи сепаратрис, разделенных этой точкой, называются особыми траекториями. Общее решение системы (1.1) имеет вид

откуда, исключая при находим уравнение неособых траекторий в плоскости

Эти траектории имеют вид гипербол, асимптотами которых являются сепаратрисы (рис. 6). Движение вдоль сепаратрис при возрастании уже определяет направление движения вдоль неособых траекторий.

Рис. 6

Замечание 1. Для нахождения сепаратрис, т. е. их наклонов, не требуется знания собственных значений и собственных векторов матрицы а. Если то сепаратрисами являются, очевидно, координатные оси. Предположим, что Тогда, составляя системы (1.1) отношение

и замечая, что для наклона сепаратрисы имеют место равенства

имеем квадратное уравнение для нахождения :

При это уравнение даст только одно значение . Другой сепаратрисой в этом случае будет координатная ось В этом случае существенным становится знак . Возможны два случая:

Первый случай. комплексно-сопряженные, Поэтому точка асимптотически устойчива. Все решения системы (1.1) при возрастании совершают затухающие колебания вокруг точки

На фазовой плоскости траектории входят в точку спирально закручиваясь и совершая бесконечное число витков. Этот случай называют устойчивым «фокусом» (рис. 7).

Рис. 7

Рис. 8

Второй случай. вещественные и отрицательные. Точка асимптотически устойчива. Пусть и пусть (1.2) определяют собственные векторы матрицы а. Тогда (1.3) определяют фундаментальную систему решений, которые на фазовой плоскости изображаются прямыми линиями (1.4). Точка и лучи этих прямых, разделенных точкой и в этом случае являются особыми траекториями, только теперь при возрастании траектории входят в точку вдоль каждого луча Другие траектории определяются соотношением (1.5). Теперь они имеют вид парабол (рис. 8).

Этот случай называется устойчивым «узлом». Прямые (1.4) для этого случая мы также будем называть сепаратрисами «узла». Вес неособые траектории входят в точку касаясь одной из сепаратрис. Из (1.5) видно, что касательной является сепаратриса, соответствующая меньшему по абсолютной величине собственному значению.

Наклоны сепаратрис находятся точно так же, как и в случае седла (см. замечание 1).

Снова возможны два случая.

Первый случай комплексно-сопряженные, Точка неустойчива. Все решения системы (1.1) при возрастании совершают колебания с неограниченно возрастающей амплитудой. Этот случай называют неустойчивым «фокусом». Фазовая картина та же, что в случае устойчивого «фокуса», только с обращенной стрелкой: спираль разворачивается при возрастании

Второй случай. и вещественны и положительны. Точка неустойчива. Этот случай называют неустойчивым «узлом». При фазовая картина такая же, как и в случае устойчивого «узла», только с обращенными стрелками: точки ненулевых траекторий при возрастании уходят от точки

Замечание 2. При описании особой точки типа «узел» (случаи второй, второй) мы намеренно опускали случай кратного корня который называют вырожденным «узлом», устойчивым или неустойчивым в зависимости от знака Оказывается, для полного

описания этого случая инвариантов недостаточно. При заданных 5 и А возможны следующие два случая.

1. Матрица а имеет два линейно-независимых собственных вектора В базисе из этих векторов матрица а имеет вид

2. Существует только один собственный вектор матрицы а. При этом вектор может быть дополнен до базиса вектором так, что т. е. в базисе из матрица а имеет гольную форму

В случае 1 общее решение имеет вид

На фазовой плоскости траектории суть лучи прямых линий, проходящих через точку (рис. 9). В случае 2 общее решение имеет вид

Предоставляем выяснить читателю, что фазовая картина имеет вид, изображенный на рис. 10, где прямая линия отвечает случаю

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11.

В обоих случаях при возрастании движение по траекториям происходит к точке если и от точки если т. е. при точка асимптотически устойчива, при неустойчива.

II. . Корни чисто мнимые. Все решения системы (1.1) периодические. На фазовой плоскости все траектории есть замкнутые кривые (рис. 11), окружающие особую траекторию Точка устойчива, но не асимптотически устойчива. Этот случай называют «центром».

III. . Хотя бы одно из собственных чисел равно Матрица а вырождена и, кроме точки все точки прямой

являются точками равновесия (при т. е. при все точки плоскости суть точки равновесия). При общее решение системы (1.1) в плоскости может быть представлено соотношением вида

представляющим собой семейство параллельных прямых (С произвольно). С помощью этого соотношения система (1.1) сводится к одному уравнению, и характер движения вдоль траектории следует из примера 1, п. 3.1.

Ни одна точка равновесия не может быть асимптотически устойчивой.