5. Критерий суммируемости функций.

Как указывалось в п. 2, каждая суммируемая функция измерима. Обратное неверно. Однако имеет место следующая теорема.

Теорема. Если измеримая функция удовлетворяет условию

почти всюду на где суммируемап функция, то суммируема.

Доказательство. Пусть -последовательность простых измеримых функций, сходящаяся к почти всюду на Положим если в противном случае. При этом мы получили последовательность простых измеримых функций, сходящуюся к почти всюду и удовлетворяющую условию

при всех почти всюду на 5. Ясно, что почти всюду на 5

Заметим., что доказательство теоремы п. 4 дословно переносится и на случай, когда речь идет о пределе по паре индексов. Поэтому согласно этой теореме

Это значит, что является определяющей последовательностью для функции суммируемость которой тем самым доказана. Теорема доказана.

Следствие. Для того чтобы измеримая функция была суммируемой, необходимо и достаточно, чтобы функция была суммируемой.

Доказательство. Необходимость следует из утверждения 2 п. 3, достаточность — из теоремы.