§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ

1. Зависимость от ...

Очевидные трудности численного расчета особенно для трехмерных областей сложной геометрической формы, делают актуальной задачу отыскания приближенных аналитических методов расчета. Мы отметим некоторые из приближенных методов, не всегда строго обоснованных, но дающих хорошие результаты.

В произвольной ограниченной области пространства рассмотрим третью краевую задачу

Здесь граница области При этом в терминах областей трехмерного пространства одномерную область можно истолковать как плоскопараллельную полосу, для которой есть отрезок ортогональной к ограничивающим плоскостям прямой линии; двумерную область можно истолковать как бесконечный цилиндр, для которой есть ортогональное сечение.

Впервые для простейших областей задача (1.1) при исследована в работе [5], в которой, в частности, получена точная аналитическая зависимость для круглого цилиндра (см. также п. XI.2.2):

Используя эту зависимость, авторы предлагают рассчитывать в случае произвольной области по формуле

где относится к первой краевой задаче Отмечается, что для полосы и шара ошибка формулы (1.3) не превышает 10%.

Другой подход к расчету вытекает из оценок (2.1.4), (2.1.5). Если первое собственное значение задачи

то величина

определяет оценку сверху для и совпадает с при а В простейших областях отличие от также не превышает 10%. Исходя из естественного предположения о том, что величина

заключена в пределах

можно построить интерполяционную формулу для дающую уточнение формулы (1.5). Обозначая

можно положить

что дает

Эта формула отличается от (1.5) поправочным членом и дает точные значения как при малых, так и при больших а. Расчеты по этой формуле предполагают знание значения и зависимости В табл. 1 приводятся для сравнения результаты расчета по точной формуле (1.2) и по приближенным формулам (1.5), (1.8) для случая круглого цилиндра.

Таблица 1 (см. скан)

В этом случае является наименьшим корнем уравнения

где бесселевы функции; Из таблицы видно, что формула (1.8) правильно отражает зависимость от а. Максимальное отклонение достигается при и составляет меньше 1%. Ошибка формулы (1.5) возрастает и достигает 6,5% при По самому построению формула (1.3) дает точный результат в случае цилиндрической области.

2. Случай первой краевой задачи.

Очень интересной, но и сложной математической задачей оказывается нахождение в случае первой краевой задачи

для произвольной области . В этом случае зависит только от области и задача становится чисто геометрической. Величина где первое собственное значение задачи,

оказывается инвариантом подобных преобразований области и зависит только от ее геометрической формы. В силу нашей верхней оценки для имеем для произвольной области

Предлагаемый способ расчета основан на следующей недоказанной теореме типа «изопериметрических теорем».

Среди всех областей размерности 3 (2) с заданным значением достигает минимального значения на шаре (круге) и максимального значения на полосе.

В пользу этой теоремы говорит то, что обычно в теоремах такого типа идея экстремальности круглых областей оправдывается. Самым убедительным доводом в ее пользу является, конечно, то, что во всех доступных для проверки случаях она оказывается правильной. Было бы тем не менее очень интересно строго доказать эту теорему и выяснить, для каких функций (вместо она остается верной.

Если через обозначить величину для полосы, круглого цилиндра и шара соответственно

то согласно нашей гипотезе имеем:

для произвольной трехмерной области

для произвольной двумерной области Идя дальше по этому пути, можно предположить, что по крайней мере для выпуклых тел вращения

Эти предположения были выдвинуты одним из авторов [58]. Отметим, что близкую идею использует Франк-Каменецкий [53] при вычислении для куба и цилиндра конечной высоты, не делая, правда, никаких оговорок математического характера.

Исходя из неравенств (2 4) можно строить различные «интерполяционные» формулы для следовательно, для

В работе [58] были даны два способа «интерполяции»:

где размерность исследуемой области площадь ее поверхности (периметр); площадь поверхности (периметр) шара (круга) того же объема (площади), что и площадь поверхности (периметр) шара (круга) с тем же собственным значением что и

Естественно (2.7) и (2.8) определяют интерполяцию только в том случае, когда

Первое неравенство следует из классического изопериметрического неравенства: среди всех областей данного объема (площади) шар (круг) имеет наименьший периметр. Второе из неравенств (2.9) вытекает из теоремы Фабера и Крана [40] о минимальном свойстве среди всех областей данного объема (площади) шар (круг) имеет наименьшее Согласно этой теореме объем шара с собственным значением не больше, чем объем Поэтому Отсюда следует, что ввиду формула (2.7) дает меньшие значения, чем (2.8).

Из теоремы Фабера и Крана вытекает еще один способ интерполяции. Если собственное значение шара (круга) того же объема (площади), что и то и можно положить

Для выпуклых тел вращения согласно (2.6) можно использовать формулы (2.7), (2.8), (2.10) с заменой на

В этих формулах легко выразить через объем (площадь) через через V:

Формулы (2.7), (2.8), (2.10) принимают соответственно вид:

для произвольной области объем, площадь поверхности)

для двумерной области площадь, периметр)

для выпуклых тел вращения

Априори нет никаких оснований отдавать предпочтение какой-либо из трех формул в каждой группе. Из общих соображений мы знаем только, что первые формулы дают значения меньшие, чем вторые В табл. 2 приведены для сравнения точные значения и его приближенные значения, вычисленные по каждой из трех формул соответствующих групп I, II, III. В колонке «тип области» римская цифра указывает группу формул, по которым проводился расчет. В колонках 1, 2, 3 помещены приближенные значения, вычисленные по первой, второй и третьей формулам соответствующей группы. Для удобства приводится также верхняя оценка

Таблица 2 (см. скан)

Точные значения для куба и цилиндра найдены Парксом [72], для кольца — Барзыкиным и Мержановым (см. также [16]).

Таким образом, практически безразлично, какой из трех формул каждой группы пользоваться При выборе формулы следует руководствоваться соображениями удобства. Все формулы требуют знания собственного числа Кроме того, третьи формулы предполагают знание V, вторые — а первые и и Конечно, нахождение числа в общем случае также является сложной задачей. Но для большого числа практически интересных областей удается найти путем аналитического решения задачи (2.2). Кроме того, существуют различные способы приближенного вычисления