§ 2. РАЗРЕШИМОСТЬ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ

1. Метод Фурье.

Для простоты ограничимся построением решения задачи т. е. граничные условия (1.1.5), (1.1.6) считаем однородными По этому поводу заметим, что если имеется решение какой-либо задачи то решение произвольной задачи сводится к решению задачи

Далее, коэффициенты считаем не зависящими от а граничная задача в области (задача вида

предполагается сильноэллиптической. По определению это означает, что при некоторых и произвольной имеет место неравенство

Здесь и есть норма в норма в Отметим что без предположения о регулярности границы задача (1.1) сильноэллиптична, если

при любых кроме того, либо (первая краевая задача), либо при

Очевидно, из (1.2) следует условие (1.2.6), так как функция при почти всех принадлежит пространству Поэтому единственность решения задачи (см. п. 1.3) сохраняется при замене (1.2.6) на (1.2).

Построим прежде всего решение задачи Итак, при выполнении (1.2) требуется найти функцию такую, чтобы при любом и любой функции

и чтобы в смысле (1.2.4)

Такая функция может быть построена методом разделения переменных (метод Фурье).

Пусть собственная функция, отвечающая собственному значению следующей граничной задачи в области

В п. VII.3.4 в предположении сильной эллиптичности задачи (1.1) показано наличие полной ортогональной (как в так и в системы собственных функций задачи (1.6), отвечающих собственным значениям так что лишь конечное число собственных значений может быть отрицательным. Ввиду соотношений

при любом и любой функции (напоминаем, что пространства состоят из одного и того же запаса функций из имеющих нулевой след на и нормы в этих пространствах эквивалентны Читатель легко убедится, что любая функция вида принадлежит и удовлетворяет уравнению (1.4). Этим же свойством обладает любая линейная комбинация

При этом Для произвольной начальной функции следует воспользоваться ее разложением в ряд Фурье

Тогда ввиду (1.7), (1.8) соотношениям (1.4), (1.5) формально удовлетворяет ряд

Чтобы завершить построение решения задачи (1.4), (1.5), остается показать, что ряд, (1.9) сходится в пространстве и что при

Пусть функции нормированы в т. е.

Тогда для коэффициентов в (1.8), (1.9) имеют место (п. VII.3.4)

Прежде всего заметим, что ввиду оценки -при и всех достаточно больших и сходимости ряда (1.11) ряд (1.9) сходится в Далее, в силу равенства Парсеваля (п. VII.3.4)

Для произвольно малого можно указать такое, что

После этого выберем настолько малым, чтобы выполнялось

Ввиду произвольности из этих неравенств следует, что левая часть (1.12) стремится к нулю при т. е.

Далее, для при любых имеет место

а для функций из (1.2), (1.7), (1.10) имеем

так что сходящимся (равномерно по оказывается ряд

Отсюда следует, что ряд (1.9) равномерно по сходится в пространстве Кроме того, из (1.13) следует, что ряд (1.9), продифференцированный по любое число раз, сходится в равномерно при и равномерной по ограниченности норм следует, что ввиду произвольности На самом деле доказано больше: функция (см. (1.9)) принадлежит пространству вместе со всеми производными по Этим доказана следующая теорема.

Теорема. Единственное обобщенное решение граничной задачи

в цилиндрической области при выполнении условия сильной эллиптичности (1.2) и ограниченности коэффициентов определяется формулой

где — ортонормированная в система собственных функций, а — соответствующая система собственных значений задачи (1.6).

При этом и все ее производные принадлежат пространству и удовлетворяют уравнению (1.4).

Следствие. Ввиду того что совершенно произвольно, формула (1.16) определяет решение задачи (1.15) во всей области При этом если то имеет место полезное асимптотическое равенство

В самом деле,

а так как при то ряд внутри скобки стремится к нулю в любом из пространств или