4. Регулярные точки.

Пусть -функция одной переменной и ограниченной вариации. Тогда в каждой точке существуют два предельных значения:

Если они равны между собой, то такую точку можно назвать точкой непрерывности функции так как, изменив функцию в этой точке, мы сделаем ее непрерывной. Если указанные предельные значения не равны между собой, то точка есть точка скачка функции. Таким образом, функции ограниченной вариации в случае одной независимой переменной имеют либо точки непрерывности, либо точки скачка. Такая структура этих функций чрезвычайно важна для различных исследований.

В одномерном случае есть только одно направление (с точностью до знака), и поэтому получалось два указанных выше предельных значения. При переходе к многомерному случаю мы сталкиваемся с тем обстоятельством, что направлений много, и на первый взгляд не ясно,

какому из них отдать предпочтение. В действительности оказывается, что можно выделить одно направление (с точностью до знака) и притом совершенно естественным образом. Точнее это нужно понимать так. Имеются следующие возможности. Либо в заданной точке существует аппроксимативный предел функции, и поэтому, изменив значение этой функции в точке мы получим, что она аппроксимативно непрерывна. Либо если не является такой точкой, то найдется -мерная плоскость (и притом только одна) такая, что в этой точке существуют аппроксимативные пределы по каждому из полупространств, на которые указанная плоскость разобьет пространство Нормаль к этой плоскости и есть то направление, о котором шла речь.

Точки двух указанных видов мы будем называть регулярными. Кроме двух указанных возможностей, есть, конечно, и третья, состоящая в том, что отсутствуют указанные пределы, т. е. не является регулярной. Но оказывается, что для широкого класса функций, в том числе и для функций из пространства (см. п. 5.5), множество точек, не являющихся регулярными, столь мало по мере (имеет -мерную меру пуль), что оно несущественно для исследований, которые будут проводиться.

Перейдем к точным определениям. Пусть а — единичный вектор в Обозначим полупространство Для функции заданной в окрестности точки введем обозначение

Определение 1. Точка называется регулярной точкой функции если найдется такой единичный вектор а, что существуют аппроксимативные пределы

Вектор а будем называть определяющим.

Теорема. Пусть регулярная точка функции а — определяющий вектор.

Тогда: 1) если то существует аппроксимативный предел и для любого единичного вектора имеет место равенство

2) если то вектор а определен однозначно (с точностью до знака).

Доказательство. Если то существование аппроксимативного предела следует из теорем 5 и

Если существует указанный предел, то на основании теоремы 3 существует для любого единичного вектора и имеет место равенство (4.2).

Пусть

Покажем, что не существует если только единичный вектор не совпадает с вектором Предположим противное. Ясно, что не является точкой разрежения множеств Поэтому на основании теоремы что противоречит (4.3).

Теорема доказана.

Будем говорить, что функция аппроксимативно непрерывна в точке если существует аппроксимативный предел

равный

Если функция суммируема, то она почти всюду аппроксимативно непрерывна (см., например, [45]).

В точках в которых существует аппроксимативный предел (4.4), но не имеет места равенство (4.5), мы можем изменить значение функции так, что это равенство будет иметь место. При этом, как было указано выше, мы изменим суммируемую функцию на множестве меры нуль.

Дадим следующее определение.

Определение 2. 1) если в точке существует аппроксимативный предел (4.4), то эту точку мы будем называть точкой аппроксимативной непрерывности функции

2) регулярную точку, не являющуюся точкой аппроксимативной непрерывности, будем называть точкой скачка. Если а — определяющий вектор в регулярной точке то число будем называть скачком функции а вектор направленным скачком.

Ясно, что в каждой регулярной точке скачок и направленный скачок однозначно определены.

Оба определения, данные в этом пункте, дословно переносятся на вектор-функции.

Пример Рассмотрим кусочно-постоянную функцию на плоскости

где вещественные числа. Проверим, что все точки плоскости являются регулярными точками этой функции Для точек вне окружности это очевидно. Пусть Обозначим через а единичный вектор, направленный по радиусу окружности, проходящему через точку Касательная к окружности проведенная в точке делит плоскость на две части: Непосредственно проверяется существование аппроксимативных пределов причем первый из них равен [3, а второй а Таким образом, Если а то все точки окружности 5 являются точками скачка функции причем скачок функции равен