3. Дифференцирование произведения функции на характеристическую функцию множества.
Мы рассмотрим здесь формулу
дифференцирования произведения двух функций 
полученную в п. IV.6.4:
в предположении, что одна из этих функций является характеристической функцией множества с конечным периметром. Некоторые следствия из этой формулы, которые здесь будут получены, приведут к различным вариантам формулы Грина.
Пусть 
ограниченное множество с конечным периметром, 
— его существенная граница, 
-ограниченная функция, заданная в 
и принадлежащая пространству 
Мы будем по-прежнему обозначать через и среднее значение функции 
— внутренний и внешний следы функции 
на 
Будем, как и в 
обозначать через множество точек плотности множества 
через 
дополнение к множеству точек разрежения, так что 
Будем, далее, через 
обозначать характеристическую функцию множества А.
Теорема. Имеют место равенства:
Доказательство. Равенство (3.2) следует из (3.1).
Далее, обозначая для сокращения записи 
будем иметь
Таким образом,
При этом мы воспользовались равенством 
Вычитая из равенства (3.6) равенство (3.2), получим 
На основании теорем 1 и 2 п. 2 почти всюду по 
-мерной мере на 
имеют место равенства (2.5) и (2.6). Так как на множестве 
-мерной меры нуль мера 
обращается в нуль, что следует, например, из равенства (1.5), то мы можем подставить в (3.7) выражения 
из этих равенств. Получим
С другой стороны, ясно, что всюду, за исключением, быть может, множества 
-мерной меры нуль, имеет место равенство
Это равенство следует из того, что 
при 
почти всюду по 
-мерной мере на 5.
Так как мера 
обращается в нуль на множествах 
-мерной меры нуль, то мы можем (3.9) подставить в равенство (3.8). Мы получим равенство (3.5).
мы получаем равенства
-мерной мере.
. В действительности это не обязательно. Равенство (3.5) верно и для неограниченных функций и, равенства (3.2) — (3.4) верны, если потребовать суммируемости хотя бы одной из функций 
или 
по 
-мерной мере на 
(при этом суммируемость двух других отсюда уже следует) [12].
