Главная > Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Дифференцирование произведения функции на характеристическую функцию множества.

Мы рассмотрим здесь формулу

дифференцирования произведения двух функций полученную в п. IV.6.4:

в предположении, что одна из этих функций является характеристической функцией множества с конечным периметром. Некоторые следствия из этой формулы, которые здесь будут получены, приведут к различным вариантам формулы Грина.

Пусть ограниченное множество с конечным периметром, — его существенная граница, -ограниченная функция, заданная в и принадлежащая пространству

Мы будем по-прежнему обозначать через и среднее значение функции — внутренний и внешний следы функции на Будем, как и в обозначать через множество точек плотности множества через дополнение к множеству точек разрежения, так что Будем, далее, через обозначать характеристическую функцию множества А.

Теорема. Имеют место равенства:

Доказательство. Равенство (3.2) следует из (3.1).

Далее, обозначая для сокращения записи будем иметь

Таким образом,

При этом мы воспользовались равенством

Вычитая из равенства (3.6) равенство (3.2), получим

На основании теорем 1 и 2 п. 2 почти всюду по -мерной мере на имеют место равенства (2.5) и (2.6). Так как на множестве -мерной меры нуль мера обращается в нуль, что следует, например, из равенства (1.5), то мы можем подставить в (3.7) выражения из этих равенств. Получим

С другой стороны, ясно, что всюду, за исключением, быть может, множества -мерной меры нуль, имеет место равенство

Это равенство следует из того, что при почти всюду по -мерной мере на 5.

Так как мера обращается в нуль на множествах -мерной меры нуль, то мы можем (3.9) подставить в равенство (3.8). Мы получим равенство (3.5).

Учитывая приведенные выше значения функции мы получаем равенства

почти всюду по -мерной мере.

Поэтому, умножая равенство (3.5) на 1/2 и складывая с (3.2), получим (3.4), а вычитая из (3.2), получим (3.3). Теорема доказана.

Мы требовали ограниченности функции . В действительности это не обязательно. Равенство (3.5) верно и для неограниченных функций и, равенства (3.2) — (3.4) верны, если потребовать суммируемости хотя бы одной из функций или по -мерной мере на (при этом суммируемость двух других отсюда уже следует) [12].

1
Оглавление
email@scask.ru