2. Теорема Тихонова.

Рассмотрим сначала случай а), когда стационарное решение является асимптотически устойчивым положением равновесия системы (1.6) и, следовательно, является решением (корнем) уравнения

Подстановка в систему (1.5) приводит к системе

Если решение сиетемы (2.2), то в качестве приближенного решения системы (1.4), (1.5) имеем

Теорема (Тихонов [51]). Пусть непрерывно дифференцируемое решение системы (2.1), определенное в некоторой области содержащей точку являющееся при каждом асимптотически устойчивым положением равновесия системы причем при решение системы (1.6) сходится к значению при Пусть, далее, решение системы (2.2) остается в области при

Тогда для решения системы уравнений (1.4), (1.5) имеют место соотношения:

где произвольно малое положительное число.

Таким образом, приближенным решением системы (1.4), (1.5) при оказывается некоторое решение вырожденной системы (2.1), (2.2), т. е. системы (1.4), (1.5) при

Требование для решения системы (1.6) при означает по определению принадлежность начальной точки области притяжения (влияния) корня При наличии в области нескольких асимптотически устойчивых корней системы (2.1) в качестве приближенного значения х следует взять тот из корней, в области притяжения которого при лежит начальная точка

Очевидно, вовсе не обязательно Поэтому соотношение (2.5) может не иметь места при При решение в узкой зоне изменения вблизи имеет характер «пограничного слоя». Если требуется найти приближенное (с точностью до ) выражение для во всем интервале то следует найти поправку типа «пограничного слоя». Пусть -решение системы (1.6) при Можно показать, что такой поправкой будет функция

так что равномерно по

Замечание. В связи с теоремой Тихонова возникает один интересный вопрос. Пусть решение системы (2.2) является периодической функцией периода Тогда периодическим оказывается приближенное решение (2.3) системы (1.4), (1.5). Спрашивается, существует ли точное периодическое решение системы (1.4), Ответ на этот вопрос оказывается утвердительным. Этот результат получен Аносовым [2] при некоторых предположениях относительно

Пример. Пусть требуется найти приближенное решение системы:

где малый параметр. Открытой областью У, где определены корни уравнения является область положительных значений у. Поэтому теоремой Тихонова не удается воспользоваться при Пусть Частная производная

сохраняет отрицательный знак вдоль корня

который и будет единственным асимптотически устойчивым положением равновесия соответствующего (1 6) уравнения

(другой корень неустойчив). Легко видеть, что область притяжения корня состоит из всех таких, что

При мы также не можем воспользоваться теоремой Тихонова. Нетрудно видеть, однако, что в этом случае и не существует предела при решения системы (2.7) Уравнение (2.2) принимает вид

так что с учетом (2 8), (2.11) приближенное решение системы (2 7) получаем в виде

Упражнение. Интегрируя (2 9) найти поправочный член типа «пограничного слоя» и приближение (2 6).