Главная > Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Функции ограниченной вариации.

Начнем со случая функции одной переменной. Пусть -функция, заданная на всей

вещественной оси и финитная. Пусть, далее, - отрезок, вне которого эта функция равна нулю. Разобьем отрезок на части точками

и составим сумму

Определение 1. Точная верхняя грань множества всевозможных сумм (2.2) называется полной вариацией функции и обозначается

Если

то называется функцией ограниченной вариации.

Нас в дальнейшем будут интересовать функции с точностью до их значений на множестве меры нуль. Поэтому мы введем следующее определение.

Определение 2. Существенной полной вариацией функции называется число

где точная нижняя грань берется по всем функциям равным нулю почти всюду на отрезке

Можно доказать, что имеет место равенство где

Если

то называется функцией существенно ограниченной вариации.

Перейдем к многомерному случаю. Пусть — функция, заданная в пространстве и финитная. Будем рассматривать как функцию переменной при фиксированных других переменных. Обозначим существенную полную вариацию функции по при фиксированной точке

Определение 3. Функция называется функцией существенно ограниченной вариации, если существуют интегралы

Например, пусть и есть функция двух переменных: Тогда есть существенная полная вариация функции по переменной при фиксированной переменной есть существенная полная вариация функции по переменной при фиксированной переменной Функция и имеет существенно ограниченную вариацию, если существуют интегралы

Обратим внимание читателя на то, что определение множества ограниченной вариации, данное в п. 2.2, есть частный случай определения 3, когда является характеристической функцией этого множества.

Теперь мы можем указать новую характеристику пространства (см. [66, 71]).

Теорема. Пусть - финитная суммируемая функция, заданная в Для того чтобы функция принадлежала пространству

необходимо и достаточно, чтобы эта функция имела существенно ограниченную вариацию.

1
Оглавление
email@scask.ru