5. Случай ... Единственность.

Специального рассмотрения требует задача (4.1) при (когда ). Вместо условий (4.2) будем предполагать

В этом случае заведомо существует Так как

Теорема. Если выполнено (5.1) и задача (4.1) при имеет ограниченное положительное решение то это решение единственно. При этом почти всюду в области

и наименьшее собственное значение задачи

равно нулю, или, что то же самое, совпадает с первым собственным значением задачи

Доказательство. Через обозначим минимальное положительное ограниченное решение задачи (4.1) при Очевидно, является верхней функцией задачи (4.1) при Поэтому их при почти всюду. Используя монотонность их и операторное представление (1.1.10), легко получаем, что решением задачи (4.1) при является Нтыхмкр. Отсюда и из минимальности следует (5.2).

Собственное значение задачи (4.6) является убывающей функцией к (в силу и возрастания их), и для величины в задаче (5.3) имеем

Покажем, что неравенство несостоятельно. Из вытекает в задаче (5.4), и, следовательно, для некоторого оказывается разрешимой задача

Решение этой задачи положительно и ограничено При рассмотрим функцию и покажем, что при достаточно «алом а эта функция окажется верхней функцией задачи (4.1) при что, очевидно, невозможно по определению

При легко убедиться, что

Квадратная скобка под интегралом равномерно по х при а имеет предел

поэтому скобка неотрицательна при Остюда при и следует, что является верхней функцией задачи (4.1) при Невозможность этого и доказывает равенство (см. (5.5)) и, следовательно,

Остается показать единственность решения Предположим, что есть другое решение на множестве положительной меры. Тогда -икр удовлетворяет (в обобщенном смысле) уравнению

При этом в силу возрастания имеем

где на множестве положительной меры. Из существования должна следовать ортогональность к первой собственной функции задачи что невозможно. Теорема доказана.

Следствие. Равенство согласно теореме п. 2 означает, что решение неустойчиво.

Впрочем, легко понять, что полуустойчиво, т. е. устойчиво относительно односторонних возмущений, уменьшающих . В общем случае даже при более слабом понятии устойчивости (не требующем асимптотической устойчивости) решение остается лишь полуустойчивым.