5. Множества класса Г.

Определение. Множество класса есть измеримое по мере множество, которое может быть покрыто конечной или счетной системой множеств, являющихся существенными границами множеств с конечным периметром.

Теорема. Пусть множество класса функция, заданная в и принадлежащая пространству ВV. Тогда имеет место формула

Здесь обозначает направленный скачок функции (см. где а — определяющий вектор.

Доказательство. Из определения следует существование конечной или счетной системы множеств с конечным периметром таких, что

где существенная граница множества Положим

Ясно, что множества попарно не пересекаются и

Обозначим

Из (5.2) — (5.4) следует, что

что множества попарно не пересекаются и

Согласно формуле (4.4) мы можем записать

где внутренний и внешний (по отношению к множеству следы функции и на Пусть — множество тех точек для которых существуют и и нормаль к множеству На основании теоремы и теоремы 2 п. Пусть Так как в этой точке существует внешняя нормаль то имеют место равенства (см. (2.3) и (2 4). Но это значит, что точка х является регулярной для функции и ее скачок А и равен Мы можем теперь (5.7) записать в виде

На основании равенства (5.5), суммируя (5.8) по получим (5.1). Теорема доказана.

Обычно в приложениях удобно пользоваться формулами п. 4 в сочетании с формулой (5.1). В качестве иллюстрации выведем формулу Грина для открытого множества.

Пусть открытое множество, — множество его точек плотности. Предположим, что есть множество класса Заметим, что принадлежит границе множества так что указанное условие выполняется, если граница множества есть множество класса

Учитывая, что каждая точка множества является точкой плотности, получим, что

и поэтому

Отсюда

Применяя формулы (4.2) и (5.1), получаем из (5.9)

где 5 — существенная граница множества Это и есть формула Грина в рассматриваемом случае. Заметим, что есть часть границы множества состоящая из точек плотности этого множества.

Пример. Пусть множество на плоскости состоящее из точек круга без точек, принадлежащих положительной полуоси Границей множества является объединение точек окружности и радуса Ясно, что существенной границей является окружность