Главная > Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. МНОЖЕСТВА С КОНЕЧНЫМ ПЕРИМЕТРОМ

1. Множества с конечным периметром.

Пусть ограниченное измеримое множество, принадлежащее пространству - его характеристическая функция. Дадим следующее определение (см. [69]).

Определение. Множество называется множеством с конечным периметром, если обобщенные производные его характеристической функции являются мерами.

Заметим, что мы рассматриваем функцию как заданную во всем пространстве . В соответствии с этим пространство фигурирующее в определении 2 п. 1.1, есть пространство функций, заданных непрерывно, дифференциальных и финитных в Мы будем его эбозначать

В силу определения является множеством с конечным териметром тогда и только тогда, когда существуют конечные меры такие, что для любой функции имеет место равенство

Теорема дает критерий того, что множество имеет конечный териметр.

Теорема. того чтобы, ограниченное измеримое множество шело конечный гетр, необходимо и достаточно, чтобы существовала константа К такие, что

Множества с конечным периметром образуют весьма широкий класс. Ниже мы укажем некоторые критерии принадлежности к этому классу, 1 пока рассмотрим простой пример.

Пример. Пусть ограниченное открытое множество с кусочно-гладкой границей S, так что может быть применена формула Грина

де нормаль к -мерная мера Хаусдорфа. Тогда в (1.3) получаем

Следовательно, множество имеет конечный периметр.

1
Оглавление
email@scask.ru