§ 5. СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНАЯ СТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ИСТОЧНИКАМИ

1. Оценки критического значения.

Ряд прикладных вопросов приводит к краевой задаче

Здесь представляет собой радиальную часть оператора Лапласа в пространстве измерений при неотрицательных целых а. Однако при задача (1.1) имеет смысл при любом вещественном а, а при по крайней мере при (см. § 2 гл. XI).

Функция непрерывно дифференцируема и положительна при Предполагается конечной величина

Функция определена и положительна при Предполагается, что

При этих условиях (см. п. IX.2.2) существует критическое значение параметра выше которого задача (1.1) не имеет положительного решения. является непрерывной функцией параметров и при фиксированном одном параметре является возрастающей функцией другого. Последнее легко вытекает из того, что решение при заданных а остается верхней функцией при том же X и всех больших значениях

В частном случае для функции будем употреблять специальное обозначение Как увидим в § 2 гл. XI, по крайней мере для вычисление величины является задачей достаточно простой. Поэтому полезно иметь оценки величины в терминах

Положим

Очевидно (см. (1.2)), при

Теорема. Если то справедливо неравенство

Доказательство. Пусть -положительное решение задачи (1.1). Положим где определена формулой (1.4):

Так как то из (1.1) имеем

Почленным интегрированием (1.1) легко убедиться, что значит, — при Поэтому из (1.6) и условия следует неравенство

Так как то оказывается верхней функцией задачи

которая, таким образом, имеет положительное решение есть нижняя функция) при любом Отсюда и следует первое неравенство (1.5). поскольку в задаче

Пусть теперь выполнено неравенство и пусть положительное решение задачи (1.8) при некотором Положим где определена формулой (1.4) Подставляя в (1.1) и учитывая (1.8) и неравенство легко убедиться, что есть верхняя функция задачи (1.1) при том же значении К. Ввиду произвольности отсюда следует второе неравенство (1.5).

Теорема доказана.

2. Следствия об асимптотике.

В том случае, когда плотность распределения источников зависит от малого параметра интересно установить асимптотику величины при со Если то, очевидно,

Однако доказанная теорема позволяет указать асимптотику в ряде нетривиальных случаев.

Слсдствие 1. Пусть а суть ветчины (1.2), (1.4). Если равномерно по

то

Доказательство. Согласно (2.2) для любого при имеем

Тогда по теореме

откуда и следует (2.3)

При функция часто имеет разрыв в точке при и условие (2.2) не может выполняться равномерно по х. Однако некоторое усиление следствия 1 позволяет судить об асимптотике при со и в этом случае.

Следствие 2. Пусть равномерно по х в каждом интервале имеет место

Пусть, кроме того, для любого при и любом либо либо Тогда

Доказательство. Рассмотрим случай, когда при Другой случай рассматривается аналогично.

По теореме

В силу условия (2.4) найдется что

причем при В силу теоремы и монотонности по функции имеем

где

Очевидно, при Из (2.6) и (2.8) имеем

и

Отсюда при в силу произвольности следует (2.5). Пример 1. Пусть требуется найти в задаче

Здесь Согласно (1.2), (1 4) найдем

Очевидно, Однако при любом Равномерная сходимость при имеет место только при Тем не менее следствие 2 можно применять, и мы имеем

При очевидна асимптотика (см 2.1)).

Часто подходящая сшивка асимптотических выражений при дает хорошее описание зависимости при любых со Например, при напрашивается формула

Пример 2 В качестве другого примера рассмотрим задачу Павлопа [39] о верхнем пределе самовоспламенения в цепной неразветвленной реакции На конкретном примере такой реакции автор показывает, что нарушение условий самовоспламенения при повышении давления происходит не только в разветвленных цепных реакциях, как было принято считать, но и в неразветвленных цепных реакциях Не вдаваясь в обсуждение постановки и заложенных в ней физических предположений, приведем более строгое решение этой задачи (см [59]).

Для определения стационарного поля температур в [39] получено уравнение и граничные условия

при при (последнее условие равносильно ограниченности при Здесь

давление; некоторые параметры

Удобно ввести безразмерные переменные и параметры

и положить

Заметим, что давление входит только в параметр Задача (2 9) переписывается следующим образом:

Формально задача (2 11) не является задачей типа (11), поскольку нарушается условие (1.3), но мы уже знаем что при малых существует как точка скачка минимального решения и причем приближенно

Здесь критическое значение X при Его поведение мы и будем исследовать. Кривая разбивает область на две области:

I — область самовоспламенения область малых разогревов

О верхнем пределе самовоспламенения говорят тогда, когда при любом неизменном X, увеличивая мы попадаем из области I в область когда неограниченно возрастает при

Для вычисленным по формулам (1.2), (1.4), предоставляем читателю убедиться в том, что

и что можно применять следствие 2 при согласно которому

Из (2 13) следует, что при о, чем и подтверждается вывод о существовании верхнего предела самоноспламепения

При ввиду следует асимптотика

Формулы (2 13) и (2 14) с учетом (2 12) подсказывают следующий вид зависимости

где при по крайней мере с такой точностью, с какой позволяет приближенная формула (2.12). Численный расчет множителя проведенный при дал следующую зависимость.

которая показывает правомерность использования формулы (2 15) даже без множителя

3. Замена переменной.

Как следует из доказательства теоремы п. 1 и легко проверяется непосредственно, интегрирование уравнения

тогда и только тогда сводится к интегрированию уравнения

когда существует подстановка удовлетворяющая следующим условиям:

При этом каждое решение уравнения (3.1) имеет вид

где некоторое решение уравнения (3.2).

Дифференциальное уравнение (3.4) легко интегрируется, и формула (3.3) определяет класс вссх допустимых функций для которых сведение уравнения (3.1) к уравнению (3.2) возможно. Если отбросить тривиальное решение то для из (3.4) получаются следующие формулы:

Здесь произвольные константы;

Хотя, как видно из (3.5), класс допустимых функций весьма ограничен, знание его все же оказывается полезным. Из последней формулы (3.5) и (3.3) следует, например, что при любой степенной

функции уравнение (3.1) при сводится к уравнению (3.2) при с помощью подстановки

При согласно второй формуле (3 5) уравнение (3.1) при сводится к уравнению (3.2) при подстановкой

С помощью подстановок (3.6), (3.7) были получены точные аналитические решения для целого цикла задач о стационарном неизотермическом течении вязкой жидкости в случае экспоненциальной зависимости вязкости от температуры [7, 8].