§ 2. СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ НА ГРАФАХ

1. Положительность.

А-вершину графа будем называть непосредственно предшествующей -вершине если Аналогично вершина называется непосредственно предшествующей вершине если

В дальнейшем предполагается, что каждая -вершина имеет хотя бы одну непосредственно предшествующую -вершину.

Будем говорить, что функция (см. (1.2.1)) подчинена вершине если при

Условие 1. Функция подчинега всем -вершинам, непо средственно предшествующим вершине

В уравнениях химической кинетики это условие всегда выполняется (см. и означает, что скорость реакции равна нулю, если равна нулю концентрация какого-либо из реагирующих веществ. Условие 1 имеет место также во всех примерах п. 1.2.

Уравнения (1.2.1) будем рассматривать при неотрицательных начальных значениях искомых функций

Теорема. Если и выполняется условие 1, то гладкое решение задачи (1.2.1), (1.1) положительно:

на интервале, где это решение существует.

Доказательство. Пусть решение существует на интервале и утверждение (1.2) не имеет места. Тогда компонента обращается в нуль при некотором Пусть - наименьшее при котором так что

Выделим в системе (1.2.1) уравнение с номером и перепишем его в виде

где обозначено

причем суммирование в (1.4) проводится по всем для которых а в (1.5) но всем для которых Нетрудно понять, что - непрерывная ограниченная функция в интервале Действительно, из вытекает а следовательно, подчинена вершине

в каждом слагаемом (1.4). Далее, в интервале очевидно, Из (1.3) имеем

и, следовательно, что противоречит допущению. Теорема доказана.

Следствие. Если и выполнено условие 1, то гладкое решение задачи (1.2.1), (1.1) неотрицательно:

на интервале, где это решение существует.

Доказательство. Пусть решение системы (1.2.1) с начальным условием По доказанной теореме для компонент имеет место По теореме о непрерывной зависимости от начального условия для решения задачи (1.2.1), (1.1) имеет место

так что для компонент имеет место (1.7).

Дальнейшее исследование свойств решения основано на математической индукции по графу, которая требует некоторой классификации вершин графа.