2. Усредненная суперпозиция.

Пусть -функция, заданная и непрерывная при всех , принадлежащих пространству Пусть, далее, - вектор-функция, заданная на некотором множестве пространства Тогда определена суперпозиция функций :

Наряду с такой суперпозицией мы определим еще одно понятие суперпозиции. Именно, пусть регулярная точка вектор-функции а — определяющий вектор (см. п. 4.4). Тогда положим

Функцию определенную равенством (2.2), будем называть усредненной суперпозицией функций

Заметим, что правая часть равенства (2.2) не зависит от произвола в выборе определяющего вектора а. Действительно, если х есть точка скачка, то вектор а определяется однозначно с точностью до знака. Однако замена а на —а не изменит правой части равенства (2.2), в чем легко убедиться, сделав в интеграле замену переменной

Если х есть точка аппроксимативной непрерывности функции то, обозначая ее аппроксимативный предел в точке х через получим

Из (2.2) теперь следует

Следовательно, и в этом случае не зависит от вектора а.

Если функция аппроксимативно непрерывна в точке х, так что то из (2.3) следует, что усредненная суперпозиция в этой точке совпадает с обычной суперпозицией (2.1):

Если вектор-функция суммируема в области то она почти всюду по -мерной мере аппроксимативно непрерывна. Поэтому для суммируемой функции равенство (2.4) имеет место почти всюду в по -мерной мере. Однако -мерная мера слишком груба для целей обобщенного дифференцирования. Если то на основании теоремы п. 5.5 суперпозиция (2.2) определена почти всюду по -мерной мере.