§ 3. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

1. Основные понятия.

Будем рассматривать систему уравнений первого порядка

и ее решение

Определение 1. Решение системы (1.1) называется устойчивым по Ляпунову, если:

1) существует такое, что при решение определено при всех

2) для любого существует такое, что неравенство

имеет место при всех если только

Решение называется неустойчивым, если нарушается хотя бы одно из условий 1), 2).

Решение называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и, кроме того,

3) существует такое, что

если только

Таким образом, устойчивое по Ляпунову решение определено во всем интервале и остается таковым при достаточно малом возмущении начальной точки. При этом решение с возмущенным начальным условием остается близким к исходному во всем интервале Другими словами, устойчивость по Ляпунову есть непрерывная зависимость решения от начального условия, равномерная по на бесконечном интервале изменения

Асимптотическая устойчивость означает, что влияние начального возмущения со временем исчезает (переменную мы иногда будем называть временем).

Пример 1. Решение скалярного линейного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид

Так как в любом случае

то непосредственно из определения следует.

1) любое решение асимптотически устойчиво при

2) любое решение устойчиво, но не асимптотически устойчиво при

3) любое решение неустойчиво при

Пример 2 Решение уравнения имеет вид

Гак как при любом то решение неустойчи во. При решение определено лишь в конечном интервале и поэтому неустойчиво При любом решение в частности асимптотически устойчиво.

Мы будем в основном рассматривать так называемые автономные системы.

Определение 2. Система (1.1) называется автономной, если т. е. если не зависит от

Такие системы часто встречаются в различных вопросах естествознания и выражают по существу независимость физических законов от времени. В примерах 1 и 2 уравнения автономны. Рассматривая общую автономную систему

мы будем для простоты предполагать, что задана и непрерывно дифференцируема во всем -мерном пространстве так что имеет место существование и единственность решения при любом . При этом в силу инвариантности системы (1.2) относительно сдвигов при любом решением будет Если принадлежит области определения то по теореме единственности

В пространстве (фазовое пространство системы функции описывают одну и ту же кривую (траекторию системы (1.2)). Отличаются они лишь началом отсчета параметра вдоль этой кривой. По теореме единственности две траектории либо совпадают, либо не имеют общих точек. Таким образом, все фазовое пространство «расслаивается» на непересекающиеся траектории. Вектор определяет направление и скорость движения вдоль траектории при возрастании t. Как следует из теоремы единственности, самопересекающимися траекториями могут быть лишь замкнутая траектория (описываемая периодическим решением либо точка (решение вида

Определение 3, Точка называется точкой равновесия системы (1.2), если

Точку равновесия называют также положением равновесия, стационарной точкой особой точкой.

Заметим, что если решение существует при и имеет конечный предел х при то точка равновесия системы (1.2). Действительно,

Так как левая часть стремится к нулю при то нулем будет и предел правой части, т. е.

Особое значение имеет исследование поведения системы (1.2) в окрестности точек равновесия. Это часто позволяет судить о качественном поведении решений системы (1.2) в целом. Ниже мы ограничимся исследованием устойчивости точек равновесия.

Упражнение Показать, что асимптотически устойчивая точка равновесия изолирована (в некоторой ее окрестности нет других точек равновесия).

Если решение автономной системы (1.2) не имеет предела при но, например, ограничено при то

можно говорить о предельных точках траектории при Определение 4. Точка называется -предельной (-предельной) точкой решения если существует последовательность — такая, что

Множество всех -предельных (-предельных) точек траектории называется -предельным (-предельным) множеством. Если существует то -предельное множество состоит из одной точки х. Если траектория замкнута -периодическая функция), то как -предельное, так и -предельное множества состоят из точек самой траектории.

Ввиду полной симметрии будем говорить только об (-пределыюм множестве

Упражнения 1 Показать, что непустое множество замкнуто. 2. Показать, что при вся траектория принадлежит

Вообще имеет место следующая теорема:

Теорема. Если решение автономной системы (1.2) ограничено при то его сопредельное множество замкнуто, связано (т. е. любые две точки можно соединить непрерывной кривой, лежащей в и состоит из целых траекторий системы (1.2).

При исследовании фиксированной точки равновесия системы (1.2) без ограничения общности можно считать так как этого всегда можно добиться переносом начала координат, т. е. с помощью подстановки