§ 3. ПРОСТРАНСТВО BV

1. Пространство ВV.

Определение. Пространство есть пространство функций, заданных и суммируемых на открытом множестве первые обобщенные производные которых являются мерами.

Таким образом, функция принадлежит пространству если она суммируема на множестве и обобщенные производные являются мерами.

Теорема п. 1.2 устанавливает критерий принадлежности функций к пространству Именно, суммируемая функция принадлежит пространству тогда и только тогда, когда существует константа К такая, что

Пространство является линейным. Действительно, если то для этих функций имеет место неравенство (1.1) с некоторыми константами Поэтому для функции имеет место неравенство (1.1) с константой Следовательно, Аналогично доказывается, что вместе с функцией пространству принадлежит функция где а — вещественное число.

В пространстве может быть введена норма следующим образом. Пусть и Будем обозначать через полную вариацию меры Введем норму

Интеграл во втором слагаемом справа в (1.2) следует понимать как интеграл по мере по множеству т. е. значение этой меры на множестве

Пользуясь определением полной вариации меры можно проверить, что для нормы, определенной равенством (1.2), выполняются все аксиомы нормы. Можно также доказать, что пространство с нормой (1.2) является полным нормированным пространством.

В дальнейшем мы будем считать, что и в этом случае будем писать просто (вместо Кроме того, так как нас будет интересовать поведение функций в конечной части пространства (а не на бесконечности), то для дальнейшего достаточно считать, что рассматриваемые функции финитны.

Мы ввели пространство как пространство функций, обобщенные производные которых являются мерами. Однако существуют и другие подходы к определению пространства Мы укажем сейчас некоторые из них.