6. Ортонормированный базис сепарабельного пространства.

Если и евклидовом пространстве задана полная ортонормированная последовательность (1.1), то каждый вектор х представляется в виде (5.2). Поэтому полная ортонормированная последовательность называется ортонормированным базисом евклидова пространства.

Покажем, что в каждом сепарабельном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Действительно, пусть в евклидовом пространстве задана полная линейно-независимая последовательность векторов

Проведя процесс ортогонализации получим ортонормированную последовательность векторов. Она является полной, так как по доказанному в п. 2 ее линейная оболочка совпадает с линейной оболочкой последовательности (6.1).