4. Разложение по сойственным функциям.

В п. III.5.3 была доказана теорема о разложении любого элемента гильбертова пространства в ряд Фурье по собственным векторам вполне непрерывного симметричного оператора. Применим ее к оператору

Заметим, что уравнение

где нулевой элемент пространства имеет только нулевое решение. Действительно, умножая (4.1) скалярно на и пользуясь равенством (2.12), получим

Отсюда следует, что почти всюду в

Пользуясь теоремой 2 п. III.5.3 и теоремой п. 2, заключаем, что последовательность (3.14) является полной в пространстве Это значит, что каждый элемент пространства разлагается в ряд Фурье по этой последовательности.

Заметим, что последовательность (3.14) является ортогональной в пространстве

Уместно также заметить, что множества функций, принадлежащих пространствам Ел и совпадают. Вспоминая определение пространства (см. п. 2.2), мы получаем следующую теорему.

Теорема 1. Существует ортогональная в смысле (3.15) и (4.3) последовательность (3.14) собственных функций задачи А такая, что каждая функция принадлежащая пространству и удовлетворяющая условию

разлагается в ряд

сходящийся по норме

Возникает вопрос, нельзя ли воспользоваться собственными функциями задачи А для разложения в ряд Фурье любой функции, суммируемой в квадрате по множеству Этот вопрос вполне естествен, так как последовательность (3.14) ортогональна в смысле (3.15). Если бы равнялась единице, то это была бы просто ортогональность в норме Однако множитель не вносит существенных изменений. Мы можем ввести евклидово пространство со скалярным произведением

Так как функция ограничена и для нее имеет место оценка (1.7), то скалярное произведение (4.6) имеет смысл на всех функциях, принадлежащих и все аксиомы скалярного произведения выполняются.

Пространство функций, суммируемых в квадрате на множестве со скалярным произведением (4.6) будем обозначать Легко видеть, что нормы в пространствах эквивалентны, так что пространство является полным и, следовательно, гильбертовым пространством.

Итак, мы можем теперь сказать, что последовательность (3.14) является ортогональной в пространстве Мы покажем, что она является полной. Именно, имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Последовательность (3.14) собственных функций задачи А образует полную ортогональную последовательность в пространстве Следовательно, каждая функция суммируемая в квадрате по множеству может быть разложена в ряд Фурье в по функциям (3.14), сходящийся по норме

Доказательство. Мы должны доказать, что линейная оболочка векторов (3.14) плотна в пространстве Для этого достаточно доказать, что она плотна в пространстве так как нормы в этих пространствах эквивалентны.

Заметим, что пространство плотно в Действительно, пространство содержит все непрерывно дифференцируемые финитные в функции, а множество таких функций плотно в

Так как пространство плотно в то нам достаточно доказать, что любая функция и, принадлежащая пространству может быть приближена с любой точностью по норме линейными комбинациями векторов (3.14). Но это сразу следует из теоремы 1. Действительно, ряд (4.5) сходится по норме , а поэтому он сходится и по норме (см. п. V.3.5).

Доказанная теорема имеет много различных приложений, так как она устанавливает возможность строить полные ортогональные системы функций путем выбора соответствующей граничной задачи. В качестве примера мы докажем в следующем пункте полноту системы тригонометрических функций. С другими важными примерами можно ознакомиться в книге [29].