4. Разрывные аналитические функции.

Определение. Функция заданная на открытом множестве и локально принадлежащая пространству называется разрывной аналитической функцией на множестве если она является аналитической функцией вне множества точек скачка.

В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что в качестве взята вся комплексная плоскость. Как правило, к этому случаю можно свести общий случай, доопределив функцию нулем вне

С разрывными аналитическими функциями мы встречаемся при изучении граничных задач: многие задачи математической физики сводятся к определению аналитических функций по заданным условиям на скачках. Разрывные аналитические функции естественно возникают и при выполнении некоторых операций над непрерывными функциями. Например, не может быть определен но всей плоскости как непрерывная однозначная функция, но может быть определен как разрывная функция (в качестве множества точек скачка может быть взята, например, отрицательная вещественная полуось).

По поводу данного выше определения разрывной аналитической функции заметим, что множество точек скачка функции не является. вообще говоря, замкнутым. Поэтому требование аналитичности функции вне множества точек скачка должно опираться на понятие аналитической функции «а множествах, не являющихся открытыми Поэтому здесь нужно пользоваться общим определением п. 3, а не его вариантом, рассчитанным на открытые множества и гладкпе функции