3. Строгая положительность решений.

Мы показали в предыдущем пункте, что обобщенные решения неравенств (2.2), (2.3) неотрицательны. Оказывается, что для непрерывных обобщенных решений имеет место более сильный результат — строгая положительность.

Мы будем дополнительно к тем предположениям, которые были оговорены в предыдущем пункте, требовать, чтобы коэффициенты имели ограниченные первые производные при

Теорема. Пусть положительно-определенный в пространстве функционал. Тогда каждое непрерывное обобщенное решение неравенств (2.2), (2.3), не равное тождественно нулю, положительно во всех точках множеств

Доказательство. Пусть непрерывное и не равное тождественно нулю обобщенное решение неравенств (2.2), (2 3). Мы покажем, что функция ни в одной точке множества не обращается в нуль.

Предположим противное. Пусть есть множество точек, в которых По предположению существуют точки в которых функция отлична от нуля Согласно теореме функция положительна в этих точках. Пусть у — одна из этих точек

Так как функция непрерывна, то множество замкнуто. Обозначим через ближайшую к у точку множества (вернее, одну из таких точек, если она не одна). Существование такой точки следует из замкнутости множества На отрезке, соединяющем у и возьмем внутреннюю точку и положим

При этом мы можем взять столь малым, чтобы шар

целиком принадлежал множеству Выберем, далее, число и построим шар

Рассмотрим функцию

Явное вычисление выражения где задается равенством (2.1), показывает, что можно выбрать настолько большим, что будет выполняться неравенство во всех точках шара К:

где некоторая положительная константа

Возможность выбора такого числа следует из того, что выражение содержит с положительным коэффициентом в силу условия эллиптичности, а остальные слагаемые растут не быстрее

Рассмотрим функцию

Пусть граница шара К:

Легко видеть, что в (3 6) можно выбрать столь малым, что будет иметь место неравенство

Действительно, по построению на пересечении функция положительна и поэтому ограничена снизу положительной константой (в силу непрерывности и замкнутости Поэтому можно выбрать так, что на множестве будет иметь место неравенство Далее, из (3.4) видно, что шара Следовательно, вне шара Итак, (3.8) доказанс.

Ввиду непрерывности функции из (3.8) следует существование такой положительной константы а, что

Рассмотрим функционал на функциях, определенных на К Точнее, пусть

Через будем обозначать пространство функций из равных нулю на Ясно, что при место равенство

Кроме того, при имеет место неравенство

так как мы придем к (2 6), если будем считать равной нулю вне К. Из (3.6), (3 5) и (3.12) получаем

где некоторая константа, Выберем столь малым, чтобы было

Это можно сделать на основании (3 9) и (3 13). Применяя теорему к неравенствам (3 15), (3.14), получим

При этом мы, конечно, должны проверить, что функционал (3.10) положительно определенный. Но это действительно так- для любых и мы получим, продол их нулем вне К, что

По построению Поэтому

Но это противоречит (3 16). Это противоречие и доказывает теорему.

Эта теорема может быть использована для доказательства строгой положительности решения граничных задач при неотрицательных правых частях. Точнее, имеет место следующее утверждение (в предположении гладкости коэффициентов оператора и положительной определенности функционала

Следствие. Пусть обобщенное решение граничной задачи:

где

Пусть, далее, правые части являются неотрицательными функциями.

Тогда либо равна нулю почти всюду в либо строго положительна, точнее, существует непрерывная функция заданная в и такая, что

при всех

почти всюду в

Доказательство. Пусть отлична от нуля на множестве положительной меры. Если функция ограничена, то, пользуясь фундаментальным решением, нетрудно доказать, что решение задачи (3.17) непрерывно в (ср. с п. 4.6). Строгая положительность решения является следствием теоремы.

Если функция не ограничена, то мы возьмем ее срезку, например числом 1, и обозначим через решение граничной задачи (3.17) с такой срезанной правой частью. Мы придем к предыдущему случаю, так что будет иметь место неравенство (3.18). Далее, очевидно, является обобщенным решением граничной задачи с неотрицательными правыми частями. Поэтому на основании теоремы 1 п. 2 имеет место неравенство (3.19).