Глава IX. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1. РАЗРЕШИМОСТЬ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ

1. Обобщенное решение.

В ограниченной открытой области пространства будем рассматривать квазилинейное уравнение вида

По-прежнему предполагается, что область есть множество с конечным периметром. Через обозначается ее существенная граница. Предполагается, что множество каким-то образом разбито на непересекающиеся измеримые части на которых заданы граничные условия вида

Как обычно, обозначает единичную внешнюю нормаль к

Предполагается, что коэффициенты ограничены и измеримы в области и удовлетворяют условию равномерной эллиптичности

где некоторая константа, произвольный вектор.

Функция предполагается ограниченной и измеримой на множестве При этом либо (первая краевая задача), либо при некоторая константа.

Условия (1.3), (1.4) обеспечивают сильную эллиптичность оператора

при граничных условиях (1.2).

Функция предполагается заданной при и всех значениях и (для простоты), причем для каждого существует такое что

Как и в случае линейных уравнений, удобно трактовать решение задачи (1.1), (1.2) как обобщенное. По-прежнему мы будем рассматривать

пространство функций и его подпространство состоящее из функций с нулевым следом на случае совпадает с

Определение. Функция называется обобщенным решением граничной задачи (1.1), (1.2), если для любой функции имеет место

В случае линейной функции и это определение совпадает с определением обобщенного решения линейного уравнения Для нас важно то, что число в силу условия (1.4) не является собственным значением граничной задачи (1.2) для уравнения — (все собственные значения положительны). Это означает, что граничная задача (1.2) для уравнения

однозначно разрешима при любой правой части Решение определяет, таким образом, ограниченный оператор

действующий из в пространство Если будет найдена функция такая, что

то непременно является обобщенным решением задачи (1.1), (1.2), т. е. удовлетворяет равенству (1.7).