РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ХИМИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
В этот раздел вынесен ряд применений теории и методов уравнений математической физики в задачах химической кинетики и горения. Все рассматриваемые задачи имеют самостоятельное практическое значение и могут быть интересны специалистам в этой, области. С другой стороны, анализ ряда задач потребовал специальных методов исследования, не отраженных в предыдущих разделах, таких, как теория уравнений на графах (глава XII), расчет критических значений (глава X), которые будут интересны и математикам.
В главе X выводится ряд следствий из результатов главы IX применительно к задачам теплового взрыва и зажигания. Основные моменты, на которых концентрируется внимание, составляют точное математическое понятие критического значения параметра Франк-Каменецкого в случае неограниченной функции тепловыделения и некоторые количественные оценки для него [55, 56], а также метод весового осреднения уравнений и некоторые его применения в теории теплового взрыва и зажигания [4, 6].
Специальный параграф посвящается приближенным методам расчета критических значений для сложных областей [58]. Приводятся формулы, хотя и не всегда строго доказанные, но дающие с большой точностью правильный результат во всех доступных для сравнения случаях.
Дается также точное математическое определение критического значения в случае ограниченной функции тепловыделения как точки скачка минимального (устойчивого) решения.
Параграф о сферически-симметричной задаче с распределенными источниками [59] содержит некоторые специальные методы приближенного аналитического расчета критических значений. Описанное здесь сведение к задаче с нераспределенными источниками путем подходящей замены переменной оказалось полезным, например, при решении ряда задач о неизотермическом стационарном течении вязкой жидкости [7, 8].
Первый параграф этой главы, где излагается простейшая макрокинетическая модель протекания химической реакции, хорошо известен специалистам и может быть пропущен при чтении.
В главе XI собран ряд задач химической физики, которые решаются методами теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Математик может смотреть на эти задачи как на примеры применения указанных методов. Для специалистов в области химической физики эти задачи могут представлять самостоятельный интерес с точки зрения результатов и методов их получения.
В § 1 стационарная задача о распространении пламени рассматривается в несколько более общем виде, чем в известных работах [20, 24], и обобщаются некоторые результаты этих работ.
Результаты § 2 дополняют известные сведения о сферически-симметричной задаче теории теплового взрыва и представляют
общетеоретический интерес с точки зрения структуры множества решений, возможности неограниченных решений и т. д. Эти результаты показали, в частности, что вопрос о существовании ограниченного решения в критических условиях является весьма тонким, зависящим как от функции источников, так и от размерности пространства.
В § 3 указано дальнейшее развитие и обобщение квазистационарной теории теплового взрыва [33, 34]. Изложенный метод равномерного выгорания [57] позволяет получить, в частности, удобные для расчетов аналитические формулы для временных характеристик, которые ранее были получены в виде сложных квадратур.
В § 4 исследуются колебательные режимы течения вязкоупругих сред при однородном деформировании с учетом диссипативиого разогрева и зависимости вязкости от температуры [50]. Так же, как и в § 3, основным методом исследования здесь являются качественный анализ и асимптотика по малому параметру при производной в обыкновенных дифференциальных уравнениях. Обнаруженные незатухающие колебательные режимы позволяют, в частности, привлекать рассматриваемый механизм для объяснения экспериментально наблюдаемого явления нерегулярного течения полимерных масс в определенном диапазоне скоростей деформирования.
Глава XII посвящена некоторым вопросам качественной теории уравнений химической кинетики. Точнее, рассматривается более общий класс уравнений (дифференциальные уравнения на графах), который охватывает как уравнения химической кинетики, так и некоторые другие уравнения математической физики (см.[13]). С точки зрения качественной теории этот класс уравнений интересен тем, что при построении теории, кроме общеизвестных подходов, могут быть использованы также и свойства графа. Оказывается, что топология графа часто бывает определяющей в тех или иных вопросах поведения решений. С помощью графа определяется также некоторое упорядочение, которое используется при построении алгоритмов (например, алгоритм вычисления показателей Ляпунова). Такое влияние графа на поведение решений не удивительно: в графе заложены некоторые физические характеристики процесса. Например, в случае химической кинетики граф отражает механизм реакций.
В § 2 рассматриваются некоторые свойства решений уравнений на графах: положительность, поведение в нуле, априорные оценки и связанная с ними теорема существования в целом.
В § 3 изучается поведение решений при 
Показано на примерах, что поведение решений может быть самым различным: выход на стационарный режим, периодические режимы и т. д. Наиболее важные случаи — ациклический и двучленные циклы (обратимые реакции) — удается изучить в общем виде с достаточной полнотой. Доказано, что в случае обратимых реакций свободная энергия является функцией Ляпунова. Этот результат является основным для изучения поведения решений.
§ 4 по сзоему содержанию примыкает к предыдущему: построен алгоритм вычисления показателей Ляпунова, описывающий характер экспоненциального убывания решений при больших временах.
§ 5 посвящен важному методу квазистационарных концентраций, введенному Семеновым. Рассматриваются вопросы его математического обоснования.
В заключение заметим, что существует важный класс систем дифференциальных уравнений с частными производными, исследование которого требует объединения методов, изложенных в разделе III, и теории дифференциальных уравнений, которым посвящена глава XII. Эти системы описывают, в частности, процессы химической кинетики с учетом диффузии и теплопроводности.
