3. Самосопряженные вполне непрерывные операторы.

Теорема 1. Пусть А — самосопряженный вполне непрерывный оператор в гильбертовом пространстве Тогда функция достигает своей точной верхней грани

а сфере т. е. существует такой вектор что

Этот вектор является собственным вектором оператора А, соответствующим собственному значению

Доказательство. По определению точной верхней грани существует последовательность такая, что

При этом -ограниченная последовательность и поэтому существует сходящаяся подпоследовательность. Мы можем заранее

считать, что последовательность выбрана так, что сходится. Обозначим

Ясно, что

Покажем, что

Действительно,

На основании теоремы п. 3.5

откуда следует (3.4).

Так как оператор А вполне непрерывный, то найдется подпоследовательность такая, что сходится. На основании (3.4) существует также который обозначим через у. Переходя в (3.4) к пределу по подпоследовательности получим

причем, так как то

Таким образом, у есть собственный вектор оператора А.

Из (3.6) получаем

а из (3.3) следует (3.2). Теорема доказана.

Из теоремы следует, что каждый самосопряженный вполне непрерывный оператор, не являющийся тождественно нулевым, имеет хотя бы одно отличное от нуля собственное значение. Заметим, что, как следует из (3.5), абсолютная величина собственного значения равна норме оператора А.

Пользуясь доказанной теоремой, мы можем указать алгоритм нахождения собственных векторов и собственных значений вполне непрерывных самосопряженных операторов. Именно, обозначим вектор у, найденный из условия (3.2), через Соответствующее собственное значение обозначим через Дальнейшее построение будем вести по индукции.

Пусть уже найдены собственные векторы и соответствующие собственные значения Тогда вектор находится как вектор, на котором достигает своею наибольшего значения функционал при условиях:

т. е.

при условиях (3.7) и (3.8).

Ясно, что так построенный вектор в силу (3.7) ортогонален ко всем векторам и его норма равна единице. Существование такого вектора следует из теоремы. Действительно, обозначим через подпространство в X, состоящее из элементов х, удовлетворяющих условию (3.8), и будем рассматривать оператор А на подпространстве Легко видеть, что -инвариантное подпространство,

если то Действительно если то выполняются условия (3.8) и поэтому

Следовательно, ортогонален ко всем т. е.

Итак, рассматривая оператор А, как действующий в мы получаем самосопряженный вполне непрерывный оператор в . В силу теоремы 1, примененной к этому оператору, существует вектор определяемый равенством (3.9). Этот вектор является собственным вектором оператора А. Соответствующее собственное значение удовлетворяет условию

где берется по векторам

Заметим, что при и так как то

Теорема 2. Для любого вполне непрерывного самосопряженного оператора А в гильбертовом пространстве X существует ортонормированная последовательность собственных векторов, соответствующая собственным значениям такая, что каждый элемент представляется в виде

где Если последовательность бесконечна,

Доказательство. Проводя указанный выше процесс построения собственных векторов, мы получим две такие возможности.

1. Процесс оборвется после конечного числа шагов. Это произойдет в случае, если оператор А, рассматриваемый на подпространстве есть тождественный нуль:

Пусть произвольный элемент из Положим

Ясно, что и поэтому имеет место (3.14). Следовательно, имеет место (3.12), и теорема в этом случае доказана.

2. Процесс построения собственных векторов будет продолжаться неограниченно. Тогда будут построены бесконечная ортонормированная последовательность собственных векторов и соответствующая последовательность собственных значений причем будут выполняться условия (3.11).

Покажем, что имеет место (3.13). Предположим противное. Тогда последовательность будет ограниченной, а так как оператор А вполне непрерывный, то является компактной последовательностью. Но это невозможно, так как ортонормированная последовательность (см. п. 1.4.12).

Пусть произвольный элемент пространства Положим

Ясно, что и поэтому Рассматривая А как оператор, действующий на подпространстве получим

так как Кроме того, из (3.15)

так что Отсюда из и получаем Но

Следовательно,

Пусть

Тогда

Таким образом, имеет место равенство Умножая скалярно на получим Теорема доказана.