3. Растяжение.

Пусть цилиндрический образец радиуса и длины верхний конец которого закреплен, а нижний, с момента времени растягивается с некоторой скоростью в направлении оси Однородное деформирование означает, что в цилиндрических координатах компонента скорости зависит только от только от В этом случае тензор скоростей деформирования так же как и тензор напряжений определяется одной скалярной величиной и соотношение (1.1) может быть сведено к скалярному. Из уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости следует, что

есть некоторая функция не зависящая от . С учетом граничных условий из (3.1) находим и вид функции

Отсюда следует, что отличны от нуля только диагональные элементы тензора

При подходящих начальных условиях (например, нулевых) из (1.1) следует теперь, что отличны от нуля только диагональные компоненты тензора причем

Относительно скалярной величины соотношение (1.1) дает согласно (3.3) — (3.4)

Функция диссипации (1.2) принимает вид

В отличие от предыдущего случая здесь отсутствуют твердые стенки и геометрия образца меняется со временем. Геометрический фактор со в уравнении (1.3) оказывается функцией времени, Практически наибольший интерес представляют следующие случаи растяжения:

1. Растяжение с постоянной скоростью, При этом

Ввиду постоянства плотности и сохранения массы объем образца не меняется: Функция со (0 имеет вид

если пренебречь величиной по сравнению с

2. Растяжение с постоянной скоростью деформации, В этом случае из (3.2) следует

Аналогично для получаем

Естественным масштабом времени в данной задаче является характерное время растяжения

С вводом безразмерных величин по формулам (с учетом

уравнения (3.5), (1.3) принимают вид:

где

Отметим, что величины (3.6) отличаются от соответствующих величин (2.2), по существу, лишь наличием нового параметра и масштабом времени. Параметр имеет смысл отношения времени тепловой релаксации к характерному времени растяжения Мы будем предполагать параметр малым и будем исследовать асимптотическое поведение системы (3.7) при Согласно § 5 гл. VI следует изучить систему быстрых движений

где х считается параметром. Заметим, что специального изучения системы (3.8) не требуется, так как с помощью новой параметризации

система (3.8) сводится к системе (2.3). Отсюда заключаем, что единственное положение равновесия системы

является устойчивым «узлом» или «фокусом», следовательно, асимптотически устойчивым, если (ср.

и является неустойчивым «фокусом» или «узлом», когда

В этом случае система (3.8) имеет периодическое решение.

При выполнении условия (3.10) в некотором интервале асимптотика решений системы (3.7) согласно теореме Тихонова имеет вид

Если же в интервале выполнено условие (3.11) и

— периодическое по периода решение системы (3.8), то согласно теореме Понтрягина и Родыгина решение системы (3.7) с точностью до имеет вид

где некоторая быстро меняющаяся фаза Таким образом, при выполнении условия (3.11) существует быстро колеблющееся (на фоне плавного изменения решение системы (3.7) при достаточно малых

Строго говоря, для применения теоремы Понтрягина-Родыгина нужно было бы показать, что периодическое решение системы (3.8) является изолированным устойчивым предельным циклом. Достаточно это утверждение доказать для периодического решения системы (2 2). Это исследование мы опускаем.

В заключение отметим, что приближенные формулы (3.12), (3.13) имеют место, вообще говоря, лишь на конечном интервале изменения х. Из вида функций и формул (3.9), (3.10) можно проследить, что неравенство (3.11), справедливое при всегда нарушается при достаточно больших х. Точно так же неравенство (3.10), справедливое при может нарушаться в некотором интервале

Условие (2.9) по-прежнему остается необходимым и достаточным условием возможности (при подходящих параметрах х и б) неравенства (3.11), т. е. колебательных режимов.