3. Ортонормированный базис конечномерного пространства.

Теорема. В каждом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Доказательство. Пусть -мерное евклидово пространство,

— его базис. Проведя ортогонализацию системы векторов (3.1), получим ортонормированную систему

Она линейно независима (см. п. 1), и ее линейная оболочка совпадает с линейной оболочкой векторов (3.1) и, следовательно, с пространством Таким образом, векторы (3.2) образуют ортонормированный базис пространства Теорема доказана.

Пусть -мерное евклидово пространство, (3.2) — его ортонормированный базис. Тогда каждый вектор х из имеет вид

где вещественные числа. Найдем эти числа. Умножим скалярно левую и правую части равенства (3.3) на Пользуясь равенствами (1.2) и (1.3), получим

Норма вектора х легко выражается через коэффициенты

Действительно, умножим левую и правую части равенства (3.3) скалярно на х и воспользуемся равенством (3.4). После извлечения I ьадратного корня получим (3.5).

Ниже будет показано, что аналогичные результаты имеют место и для бесконечномерных сепарабельных пространств.