§ 4. НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОУПРУГОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ ОДНОРОДНОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ

1. Постановка задачи.

Рассматривается линейная модель вязкоупругой жидкости, в которой тензор скоростей деформации представляется в виде суммы упругой и вязкой составляющих, причем упругая

составляющая описывается законом Гука, а вязкая — законом Ньютона:

где тензор напряжений; модуль упругости; вязкость жидкости. Соотношение (1.1) оказывается определяющим уравнением для многих полимерных систем (расплавов и растворов полимеров). Будем учитывать диссипативный разогрев и зависимость вязкости от температуры считая для простоты При этом диссипативная функция имеет вид

Мы рассматриваем вынужденное течение жидкости, предполагая, что приводящая система (динамометрическая система) является абсолютно жесткой. В последующих рассмотрениях ничего, по существу, не меняется и при учете упругих свойств привода.

Наши основные предположения о характере течения сводятся к требованиям:

1. Однородности деформации, т. е. постоянства тензора по объему жидкости. известная функция времени или постоянная величина.

2. Постоянства температуры по объему жидкости,

Уравнение теплового баланса может быть записано в виде

где а — коэффициент теплоотдачи от жидкости к стенкам; с — теплоемкость; плотность; температура окружающей среды; со — геометрический фактор, равный отношению площади стенок к объему жидкости.

Мы будем предполагать постоянство теплофизических параметров с и а, а также плотности Последнее означает, в частности, что жидкость несжимаема.

Система уравнений (1.1), (1.3) является замкнутой системой относительно функций Отметим, что эта система не теряет смысла и при наличии распределения по объему величин В этом случае систему (1.1), (1.3) следует рассматривать как приближенную систему уравнений относительно некоторых средних значений по объему функций

Основной вопрос, который нас будет интересовать, — это вопрос о возможности колебательных режимов течения. Забегая вперед, отметим, что такие режимы, обусловленные диссипативным разогревом и зависимостью вязкости от температуры, действительно обнаруживаются. Этот механизм, таким образом, может быть привлечен для теоретического объяснения известного экспериментального факта о нерегулярности течения полимерных масс в определенном диапазоне скоростей деформирования. Такой механизм был впервые рассмотрен Столиным и одним из авторов [50]. Другие попытки объяснения нерегулярного течения, в частности периодической сменой режимов прилипания и скольжения полимера но твердой стенке, основывались на изотермических моделях течения.

Уравнение (1.1) является тензорным, и в общем виде исследование системы сопряжено с большими трудностями. Поэтому мы

ограничимся рассмотрением простых типов течения, когда тензоры удается выразить через одну скалярную величину.