2. Действия над множествами.

Суммой, или объединением двух множеств называется множество, элементами которого являются элементы множества или множества В. Объединение двух множеств обозначается Таким образом, тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из условий: или (при этом не исключено, что х является элементом обоих множеств)

В случае, когда одно из множеств является пустым, то объединение определяется так:

Аналогично дается определение объединения произвольной совокупности множеств Именно, х является элементом множества тогда и только тогда, когда х является элементом хотя бы одного из множеств

Примеры. 1. Пусть множество всех четных чисел, В — множество всех четных чисел. Тогда — множество всех целых чисел. Здесь не имеют элементов.

2. Пусть А — множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенству — множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенству Тогда есть множество всех вещественных чисел, удовлетворяющих неравенству В этом примере, очевидно, множества имеют общие элементы.

3. Пусть есть множество всех вещественных чисел удовлетворяющих неравенству Тогда если пробегает все целые числа, то есть множество вещественных чисел.

Произведением, или пересечением двух множеств называется южество, элементы которого принадлежат множеству А и множество В. Пересечение множеств обозначается Таким образом тогда и только тогда, когда В случае, не имеют общих элементов, то по определению

Аналогично дается определение пересечения А любой совокупности южеств Именно, х есть элемент множества А тогда только тогда, когда х принадлежит всем множествам

Примеры. 4 Пусть множества, введенные в примере 1. Тогда

5. Пусть множества примера 2 Тогда есть множество веществе чисел х, удовлетворяющих неравенству

6 Пусть круг с центром в точке радиуса Тогда, если пробегает все туральные числа, то

Для введенных действий объединения и пересечения множеств яеют место коммутативный и дистрибутивный законы:

Первые два равенства очевидны.

Докажем равенство (2.3). Пусть Тогда либо В первом случае во втором Следовательно, х принадлежит множеству, стоящему в правой части равенства (2.3).

Обратно, пусть Тогда либо либо В обоих случаях В первом случае во втором — Следовательно, Таким образом, х принадлежит множеству, стоящему в левой части равенства (2.3). Равенство (2.4) доказывается аналогично.

Разностью множеств называется множество всех тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В. Таким тогда и только тогда, когда Если , то по определению

Пример 7. Пусть множества, приведенные в примере 2. Тогда множество вещественных чисел, удовлетворяющих неравенству

(см. скан)

(см. скан)