Главная > Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Младшие члены.

Мы определили скалярное произведение в пространстве равенством (4.1), в которое вошла часть функционала . Оставшаяся часть функционала содержит мдадшие члены. Естественно поставить вопрос о том, какой вклад вносит она в изучение граничной задачи.

Из равенств (1.3) и (4.1) получаем следующее равенство:

где

Нашей ближайшей целью является изучение функционала (5.2). Для этого введем оператор В, определенный на всех функциях пространства и действующий из в таким образом:

(обобщенные производные рассматриваются в

То, что оператор (5.3) имеет смысл на функциях легко понять. Действительно, по определению пространства данному в п. 4, элементы этого пространства принадлежат пространству Поэтому если и то суммируема в квадрате и имеет суммируемые в квадрате производные в области Так как и с — ограниченные функции, то ясно, что правая часть в (5.3) представляет собой функцию, суммируемую в квадрате в области

Покажем, что оператор В ограничен. Действительно, обозначая для сокращения записи мы можем записать

Мы применили неравенство Коши — Буняковского к векторам

Пользуясь ограниченностью функций получаем из (5.4)

где Ко — некоторая константа.

Напомним, что норма в пространстве задается равенством (2.2). Из (5.5) и (4.6) следует

Отсюда и из эквивалентности норм в пространствах (см. теорему п. 4) мы окончательно получаем

где К — некоторая константа.

Итак, мы доказали ограниченность оператора В. Вернемся к функционалу определенному равенством (5.2). Пусть две произвольные функции из пространства Тогда ясно, что функционал может быть записан в виде

где по-прежнему обозначает скалярное произведение в оператор вложения пространства в пространство

Пользуясь равенствами (5.7) и (5.1), мы можем представить функционал в виде

Как было показано, здесь В — ограниченный, а вполне непрерывный оператор (см. п. 4, следствие 2).

Сформулируем полученный результат в виде следующей теоремы. Теорема. На функциях принадлежащих пространству функционал имеет вид (5.8), где В — ограниченный, вполне непрерывный операторы, действующие из в

1
Оглавление
email@scask.ru