Покажем, что оператор В ограничен. Действительно, обозначая для сокращения записи
мы можем записать
Мы применили неравенство Коши — Буняковского к векторам
Пользуясь ограниченностью функций
получаем из (5.4)
где Ко — некоторая константа.
Напомним, что норма в пространстве
задается равенством (2.2). Из (5.5) и (4.6) следует
Отсюда и из эквивалентности норм в пространствах
(см. теорему п. 4) мы окончательно получаем
где К — некоторая константа.
Итак, мы доказали ограниченность оператора В. Вернемся к функционалу
определенному равенством (5.2). Пусть
две произвольные функции из пространства
Тогда ясно, что функционал
может быть записан в виде
где
по-прежнему обозначает скалярное произведение в
оператор вложения пространства
в пространство
Пользуясь равенствами (5.7) и (5.1), мы можем представить функционал в виде
Как было показано, здесь В — ограниченный, а
вполне непрерывный оператор (см. п. 4, следствие 2).
Сформулируем полученный результат в виде следующей теоремы. Теорема. На функциях
принадлежащих пространству
функционал
имеет вид (5.8), где В — ограниченный,
вполне непрерывный операторы, действующие из
в