Покажем, что оператор В ограничен. Действительно, обозначая для сокращения записи 
мы можем записать
Мы применили неравенство Коши — Буняковского к векторам
Пользуясь ограниченностью функций 
получаем из (5.4)
где Ко — некоторая константа.
Напомним, что норма в пространстве 
задается равенством (2.2). Из (5.5) и (4.6) следует
Отсюда и из эквивалентности норм в пространствах 
(см. теорему п. 4) мы окончательно получаем
где К — некоторая константа.
Итак, мы доказали ограниченность оператора В. Вернемся к функционалу 
определенному равенством (5.2). Пусть 
две произвольные функции из пространства 
Тогда ясно, что функционал 
может быть записан в виде
где 
по-прежнему обозначает скалярное произведение в 
оператор вложения пространства 
в пространство 
Пользуясь равенствами (5.7) и (5.1), мы можем представить функционал в виде
Как было показано, здесь В — ограниченный, а 
вполне непрерывный оператор (см. п. 4, следствие 2).
Сформулируем полученный результат в виде следующей теоремы. Теорема. На функциях 
принадлежащих пространству 
функционал 
имеет вид (5.8), где В — ограниченный, 
вполне непрерывный операторы, действующие из 
в 
равенством (4.1), в которое вошла часть 
функционала 
. Оставшаяся часть функционала содержит мдадшие члены. Естественно поставить вопрос о том, какой вклад вносит она в изучение граничной задачи.
и действующий из 
в 
таким образом:
рассматриваются в 
легко понять. Действительно, по определению пространства 
данному в п. 4, элементы этого пространства принадлежат пространству 
Поэтому если и 
то 
суммируема в квадрате и имеет суммируемые в квадрате производные в области 
Так как 
и с — ограниченные функции, то ясно, что правая часть в (5.3) представляет собой функцию, суммируемую в квадрате в области 
