3. Полная вариация меры.
Пусть на 
-алгебре множеств А задана 
со значениями в банаховом пространстве 
есть норма в эостранстве В.
Определение. Полной вариацией меры 
называется функция ножества 
определенная равенством
точная верхняя грань берется по всем конечным системам 
не пересекающихся множеств из А таких, что 
В частности, в качестве указанной системы множеств можно взять 
множество 
Получим неравенство
Мы будем предполагать, что
Функция множества 
удовлетворяющая условию (3.3), называется функцией ограниченной вариации.
Теорема. Полная вариация меры, определенной на 
-алгебре 
мерой, определенной на этой 
-алгебое.
Доказательство. Пусть 
мера, определенная на с-алгебра
А. Пусть, далее, 
где система множеств 
состоит из попарно не пересекающихся множеств, принадлежащих 
-алгебре А. требуется доказать, что
Зададим конечную систему 
попарно не пересекающихся множеств Обозначим 
Тогда
Поэтому
так что
В силу соотношений 
имеем
Отсюда и из (3.5) следует
Взяв точную верхнюю грань в левой части, получим
Докажем противоположное неравенство. С этой целью для каждого множества 
зададим конечную систему множеств 
такую, что
где 
произвольное число. Отсюда
так как 
При 
(в случае, если 
содержит бесконечное число множеств) получим
Ввиду произвольности 
отсюда следует, что
Сравнивая с (3.6), получим (3.4). Теорема доказана. Укажем также следующие свойства полной вариации.
1. Если 
то
Действительно,
ввиду неотрицательности полной вариации.
Из неравенства (3.7), в частности, следует, что
Поэтому функции 
ограничены (см. (3.2) и (3.3)).
2. Если 
где 
— множества, принадлежащие а-алгебре А, то
Действительно, положим 
Тогда множества попарно не пересекаются, 
и 
Поэтому
