2. Связь с собственными функциями вполне непрерывного симметричного оператора.

Мы покажем, что собственные функции задачи А являются собственными функциями некоторого вполне непрерывного симметричного оператора и, следовательно, обладают всеми теми свойствами, что и они (см.

Прежде, чем строить указанный оператор, мы должны построить пространство, в котором он действует. Это будет пространство, порожденное рассматриваемой задачей о собственных значениях, которое мы будем обозначать через и которое аналогично пространству, построенному в п. 2.4. Однако для наших целей удобно несколько иначе определить его. Именно, мы введем скалярное произведение по формуле

Покажем прежде всего, что можно так выбрать константу у, чтобы выполнялось неравенство

где имеют тот же смысл, что и в (1.6). Действительно, на основании (2.1) и (1.6) имеем

Ясно, что параметр у можно выбрать так, чтобы выполнялось неравенство

так как функция ограничена, и имеет место неравенство

При таком выборе параметра у очевидно, что для (2.1) выполняются все аксиомы скалярного произведения. Это скалярное произведение будет рассматриваться на функциях Мы можем теперь определить то пространство которое нам понадобится. Именно, есть пространство функций, принадлежащих пространству со скалярным произведением (2.1).

С учетом ограниченности функций точно так же, как. и в п. 2.4, доказывается эквивалентность норм в пространствах и Верны также и следствия из теоремы об эквивалентности норм, приведенные в п. 2.4.

Если мы воспользуемся обозначением (2.1), то равенство (1.8) можно записать в виде

где

Нам удобно правую часть равенства (2.4) трактовать как скалярное произведение в пространстве а умножение на — как некий оператор в этом пространстве.

Остановимся на этом подробней. Мы введем оператор определенный в пространстве действие которого сводится к умножению на функцию

для любой функции Так как функция ограничена, то произведение, стоящее в правой части равенства (2.6), принадлежит пространству Таким образом, оператор действует в пространстве Легко видеть, что это ограниченный оператор. Действительно,

где К — константа, ограничивающая функцию

Легко видеть также, что оператор является симметричным. Действительно,

для любых

Вернемся к равенству (2.4). После введения оператора ясно, что правую часть можно трактовать как скалярное произведение в Левую часть этого равенства мы будем трактовать как скалярное произведение в В соответствии с этим мы будем рассматривать функции и и у, принадлежащие пространству Поэтому, чтобы записать правую часть (2.4) в виде скалярного произведения в мы должны ввести оператор вложения пространства в пространство При этом если то есть та же функция, но рассматриваемая как элемент пространства Итак, мы можем записать (2.4) в виде

для любых двух функций

Рассмотрим теперь собственные функции задачи А. Как мы уже отмечали, равенство (1.8), с помощью которого определены собственные функции, можно записать в виде (2.4).

Если трактовать как элементы пространства то последние можно записать в виде (2.9).

Следовательно, мы получаем следующее - если и — собственная функция задачи А, то, трактуя ее как элемент пространства мы будем иметь (2.9) при всех При этом определяется равенством (2.5).

Мы можем (2.9) записать в виде

Но так как произвольный элемент пространства то из (2.10)

где обозначено

Ясно, что если собственное значение задачи А, то

Мы в этом легко убедимся, подставив в где собственная функция задачи А. Положим

Тогда (2.11) запишется в виде

Но это значит, что и есть собственная функция оператора соответствующая собственному значению

Итак, мы показали, что каждая собственная функция и задачи А, рассматриваемая как элемент пространства является собственным вектором оператора

Если бы мы провели выкладки в обратном порядке, то получили бы, что никаких других собственных векторов оператор не имеет.

Нам остается только заметить, что оператор задаваемый равенством (2.12), есть вполне непрерывный симметричный оператор в пространстве Действительно, вполне непрерывные операторы, ограниченный оператор. Поэтому есть вполне непрерывный оператор. Далее, так как симметричный оператор, то, очевидно, есть также симметричный оператор. Итак, доказана следующая теорема.

Теорема. Функция является собственной функцией задачи А, соответствующей собственному значению X, тогда и только тогда, когда эта функция, рассматриваемая как элемент пространства является собственным вектором вполне непрерывного симметричного оператора задаваемого равенством (2.12), соответствующим собственному значению