3. Обратимые реакции. Детальное равновесие.

Рассмотрим теперь случай взаимно обратимых реакций:

Скорость каждой реакции будем считать заданной по формуле Тогда если положить

то, очевидно, соответствующая система (1.1.2) имеет вид

Естественно считать, что при каждом существует такое, что Мы не исключаем возможности так что некоторые из уравнений в системе (3.3) могут иметь вид

Определение. Говорят, что точка вляется точкой детального равновесия (баланса) для системы (3.3), если

Очевидно, точка детального равновесия является точкой равновесия (стационарным решением) системы.

Будем говорить, что выполнено условие А, если существует положительная точка детального равновесия.

Логарифмированием равенства (3.4) легко показать, что необходимым и достаточным условием существования положительной точки детального равновесия является разрешимость системы линейных уравнений

При этом точка детального равновесия и решение с этой системы связаны соотношением

Условие А, таким образом, есть некоторое ограничение на константы равновесия (ортогональность вектора решениям сопряженной однородной системы уравнений В том случае, когда эта система имеет только нулевое решение, никаких ограничений на не содержится. Пусть есть ранг матрицы а строки матрицы

образуют фундаментальную систему решений однородной системы (3.5)

Ясно, что строки матрицы (3.6) определяют независимые линейные первые интегралы (материальные балансы) системы (3.3), т. е. если и столбец-решение системы (3.3), то

Совокупность

называют инвариантной плоскостью или плоскостью материальных балансов системы (3.3), так как если то при всех из области определения решения

В том случае, когда ранг матрицы равен инвариантная плоскость совпадает со всем пространством

Теорема. Если выполнено условие А, то в инвариантной плоскости, содержащей хотя бы одну положительную точку, существует и единственна положительная точка детального равновесия системы (3.3).

Доказательство. В том случае, когда инвариантная плоскость совпадает со всем пространством, утверждение теоремы следует из условия А, т. е. разрешимости системы (3.5). Рассмотрим тот случай, когда ранг матрицы меньше Не ограничивая общности, можно считать, что первые строк матрицы линейно независимы. Тогда нахождение положительной точки детального равновесия в плоскости сводится к совместному решению системы уравнений:

Условия теоремы означают, что каждая систем (3.8), (3.9) по отдельности разрешима. Если -положительная точка плоскости то, очевидно, образуют решение системы (3.9). Система (3.8) разрешима в силу условия А.

Если -некоторое частное решение системы то ее общее решение имеет вид

где - набор произвольных констант. (Напоминаем (см. (3.7)), что суть решения однородной системы Рассмотрим функцию

где положительная точка плоскости Нетрудно видеть, что ограничена снизу и при обозначает длину вектора). Из векторной записи легко находим, что

где А — транспонированная матрица А, причем обратима» квадратная матрица порядка Из (3.12) заключаем, что для в (3.10) имеет место

Следовательно, при Это означает, что функция (3.11), рассматриваемая как функция на решениях (3.10) системы (3.8), в некоторой точке достигает минимума, и в этой точке

т. е. выполняется (3.9). Таким образом, формула (3.10) при определяет решение всей системы (3.8), (3.9). Существование решения этим доказано.

Читая (3.13) в обратном порядке, убеждаемся, что любое решение системы (3.8), (3.9) определяется формулой (3.10) в некоторой стационарной точке функции Матрица вторых производных этой функции

положительно определена. Действительно,

и ввиду линейной независимости строк матрицы (3.6) равенство нулю возможно лишь при Это означает, что выпуклая функция и потому не имеет других стационарных точек, кроме единственной точки минимума. Единственность решения системы (3.8), (3.9), а тем самым и теорема доказаны.

Приведенное здесь доказательство основано на идеях работы Зельдовича [18].