4. Квазилинейное уравнение.

Рассмотрим теперь квазилинейное уравнение

и поставим задачу Коши: найти решение удовлетворяющее начальному условию

Предполагается, что определена при и любых значениях имеет производную и для любой константы существует константа такая, что

Определение. Функция удовлетворяющая условию

называется обобщенным решением задачи (4.1), (4.2) в области если при любой функции выполняется равенство

Предполагается существование следа в смысле определения 1 п. 1 и интеграла от при

Как и в случае граничной задачи, квазилинейное уравнение удобно исследовать в классе ограниченных функций Результаты § 3 почти дословно переносятся на случай задачи Коши.

Лемма. Пусть функция удовлетворяет условиям:

Тогда почти всюду в области

Доказательство. Эта лемма нас интересует лишь в случае ограниченной функции в выражении (1.6). Как и в теореме п. 1.4, рассматривая функцию при подходящем а, общий случай леммы можно свести к тому случаю, когда

Поэтому (4.9) будем считать выполненным. Функция удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности. Поэтому функция

в цилиндрической области принадлежит, очевидно, пространству (см. (4.6)) и для любой при согласно (4.8)

Так как, очевидно, и при то для имеем

По теореме п. 1.4 почти всюду в области Ввиду произвольности при отсюда и из (4.10) получаем утверждение леммы.

Как и в § 3, из этой леммы немедленно вытекает следующая теорема сравнения (ср. п. 3.1).

Теорема 1. Пусть ограниченные функции при любой неотрицательной функции удовлетворяют неравенству (см. (4.5))

Пусть, кроме того,

Тогда почти всюду в области

Аналогично п. 3.1 из этой теоремы выводим следствия. Следствие 1 (теорема единственности). Ограниченное обобщенное решение задачи Коши (4.1), (4.2) единственно.

Следствие 2 (теорема об ограниченности). Если ограниченные функции и, имеющие след при удовлетворяют неравенствам

для любой функции решение задачи (4.1), (4.2) почти всюду в области удовлетворяет неравенствам

Определение. 2. Ограниченные функции имеющие след при и удовлетворяющие условиям (4.13), (4.14), называются верхней и нижней функциями задачи (4.1), (4.2).

Следствие 3. Если то для решения задачи (4.1), (4.2) имеет место оценка

Непосредственно проверяется, что образуют верхнюю и нижнюю функции.

Теорема 2. Пусть ограничена, выполнено условие (4.3) и в области существуют верхняя и нижняя функции и, и задачи (4.1), (4.2).

Тогда в области существует обобщенное решение задачи (4.1), (4.2), удовлетворяющее неравенствам (4.15).

Доказательство этой теоремы получается дословным повторением доказательства теоремы п. 3.2, только вместо цилиндрических

областей следует рассматривать полосы и вместо следствия 3 и. 1.4 используется оценка (4.16).

Очевидным образом переносятся на случай задачи Коши и следствия 1, 2 п. 3.2.