3. Некоторые следствия критериев устойчивости.

Одним из тривиальных достаточных условий устойчивости решения задачи (1.1) является условие

так как в этом случае собственное значение задачи (2.3) оценивается снизу положительным собственным значением задачи

Понятие отделимости позволяет указать другие достаточные условия устойчивости, а также доказать важное свойство изолированности устойчивого решения. Без специальных оговорок исследуемое решение всюду предполагается ограниченным.

Теорема 1. Пусть решение задачи (1.1) устойчиво и -некоторые отделяющие функции. Тогда в классе функций удовлетворяющих неравенствам

решение единственно.

Доказательство. Неравенства (2.1), означают, в частности, что и являются верхней и нижней функциями задачи (1.1). Для доказательства единственности достаточно показать, что минимальное и максимальное решения в интервале (3.1) совпадают. Как уже отмечали при доказательстве теоремы п. 2, из (2.1), вытекают неравенства

где решения задачи (1.2) при начальных условиях

Но так как имеют один и тот же предел при то Согласно теореме п. 1.4 это и означает, что минимальное и максимальное решения задачи (1.1) в интервале (3.1) совпадают с Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть -решение задачи (1.1) и существуют функции и постоянная такие, что

для любой функции кроме того, не убывает не возрастает) при

Тогда решение устойчиво, являются отделяющими функциями.

Доказательство. По предположению относительно и при любом имеем

и аналогично

Из (3.4), (3.5) при ввиду равенства

получаем

и аналогично из (3.3) и (3.6)

Таким образом, отделимо, следовательно, устойчиво и отделяющими функциями оказываются Теорема доказана.

Условия (3.3) — (3.4) теоремы 2 означают, что являются верхней и нижней функциями задачи (1.1) в несколько более сильном смысле. чем в определении п. 1. 3. При выполнении других условий теоремы 2 из теорем 1 и 2 следует, что между такими верхней и нижней функциями существует только одно решение и оно устойчиво. Обнаруживается замечательное свойство теоремы о разрешимости в терминах верхних и нижних функций, гарантирующей по существу наличие устойчивого решения.

Из теорем 1 и 2 легко вытекает следующая теорема единственности устойчивого решения.

Теорема 3. При выполнении условий

среди всех положительных решений задачи (1.1) устойчивым может быть только одно — наименьшее положительное решение.

Доказательство. Пусть устойчивое положительное решение и некоторые отделяющие функции, так что согласно функции ими удовлетворяют условиям (3.2) — (3.4) теоремы 2. Но этим условиям удовлетворяют, очевидно, и функции так как при достаточно малом 6. В силу неубывающая функция при и по теореме являются отделяющими функциями. По теореме 1 не существует другого решения, кроме удовлетворяющего неравенствам

Но так как минимальное положительное решение всегда удовлетворяет этим неравенствам, то минимально. Теорема доказана.

Можно привести примеры, когда нарушение условия выпуклости 0) приводит к неединственности устойчивого решения. Есть и такие примеры, когда при выполнении условий (3.7) существует только одно положительное решение и оно неустойчиво. Как увидим ниже, таковым оказывается ограниченное решение, отвечающее критическому значению задачи с параметром, когда такое решение существует.