5. Тригонометрические ряды Фурье.

Мы используем здесь полученные в п. 4 результаты для изучения тригонометрических рядов Фурье, к которым мы естественно придем, рассматривая собственные функции граничных задач для простейшего оператора

Начнем со следующей задачи:

Находя общее решение уравнения (5.1) и подставляя его в граничные условия (5.2), получим все собственные значения

и соответствующие им собственные функции

Из теоремы 2 п. 4 сразу следует теорема 1.

Теорема 1. Последовательность (5.4) есть полная ортогональная последовательность в пространстве функций, суммируемых в квадрате на интервале

Изменив граничные условия, мы получим другую последовательность. Именно, рассмотрим граничную задачу для уравнения (5.1) с граничным условием

Явное решение приводит к собственным значениям

и соответствующим им собственным функциям

Таким образом, имеет место теорема 2.

Теорема 2. Последовательность (5.7) есть полная ортогональная последовательность в пространстве функций, суммируемых в квадрате на интервале

Из этих двух теорем мы получаем также следующую теорему. Теорема 3. Последовательность

есть полная ортогональная последовательность в пространстве функций, суммируемых в квадрате на интервале

Доказательство. Ортогональность последовательности (5.8) была доказана в п. 1.5.7. Докажем полноту. Пусть суммируема в квадрате на интервале Обозначим:

так что На основании теорем 1 и 2 имеют место разложения на интервале :

Ввиду четности (т. е. ) и нечетности (т. е. ) эти равенства сохраняются на интервале При этом используются четность функции и нечетность Следовательно, равенства (5.10) и (5.11) имеют место на интервале Складывая, получим

Теорема доказана.

Заметим, что ряды (5.10) — (5.12) сходятся по норме и указанные равенства имеют место почти всюду на интервале Это вполне естественно, если ничего большего, кроме принадлежности к от функции и не требовать. Однако если функция и обладает некоторыми дополнительными свойствами гладкости, то можно ожидать улучшения характера сходимости рядов. Мы укажем одно условие, при котором имеет место равномерная сходимость рассматриваемых рядов. Предварительно докажем лемму.

Лемма. Если последовательность функций одной независимой переученной х, принадлежащих пространству на отрезке сходится по норме этого пространства, то эта последовательность сходится равномерно.

Доказательство. Для любой функции принадлежащей пространству на отрезке можно записать

Отсюда

Проинтегрируем по

Мы применили неравенство Коши — Буняковского к интегралам. Таким образом,

где -некоторая константа.

Пусть по норме пространства Тогда из (5.13) получаем

Лемма доказана.

Теорема 4. Пусть функция непрерывна на отрезке имеет суммируемую в квадрате обобщенную первую производную на интервале и удовлетворяет условию периодичности

Тогда ряд (5.12) равномерно сходится к функции Доказательство. Рассмотрим функции задаваемые равенствами (5.9). В силу условия теоремы эти функции имеют первые обобщенные производные на интервале суммируемые в квадрате. Кроме того, очевидно, . В силу условия Следовательно, функция удовлетворяет условию теоремы 1 п. 4, примененной к граничной задаче (5.1), (5.2). На основании этой теоремы ряд (5.11) сходится по норме пространства

Точно так же, применяя теорему 1 п. 4 к задаче (5.1), (5.5) и функции получим, что ряд (5.10) сходится по норме Из леммы следует равномерная сходимость этих рядов, а поэтому и ряда (5.12). Теорема доказана.