§ 3. ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

1. Обобщенное решение. Принцип монотонности.

Здесь мы будем рассматривать квазилинейное параболическое уравнение вида

Рассматривавшееся выше линейное уравнение является частным случаем (1.1) при Уравнение (1.1) по-прежнему будем изучать в цилиндрической области с ограниченным основанием — ограниченное открытое множество с конечным периметром). На боковой поверхности 2 области будем рассматривать граничные условия:

Множества и , как и выше, предполагаются цилиндрическими

где образует существенную границу области

Кроме условий (1.2) предполагается задание начального условия

Коэффициенты ограниченные измеримые функции (каждая в своей области), не зависящие от Предполагается выполнение условия сильной эллиптичности (2.1.2).

Относительно функции мы предполагаем, что она задана при и при любых значениях и (для простоты). Кроме того, мы предполагаем, что существует производная и для любой константы существует константа такая, что

Понятие обобщенного решения граничной задачи для линейного уравнения переносится на задачу (1.1) — (1-3).

Определение 1. Функция удовлетворяющая условиям

называется обобщенным решением граничной задачи в области если для любого и любой функции выполняется равенство

В отличие от билинейного функционала предыдущих параграфов функционал

является нелинейным по первому аргументу и.

Определение предполагает, что функция имеет след при равный При требования равносильны одному условию Как и выше, считаем

В определении, естественно, предполагается существование всех интегралов в (1.6), (1.7). При условии (1.8) и ограниченных и для этого достаточно существование интеграла

В дальнейшем мы в основном изучаем ограниченные решения при ограниченных (и даже при ), так что в силу (1.4) не возникает вопроса о существовании интегралов.

Задачу (1.1) — (1.3) будем коротко называть задачей а ее обобщенное решение — решением задачи При будем говорить о задаче

Важные свойства решения задачи вытекают из следующей теоремы сравнения (ср. п. 1.4).

Теорема. Пусть ограниченные функции при любой неотрицательной функции удовлетворяют неравенству

Пусть, кроме того,

Тогда почти всюду в области Доказательство. Положим

так что - ограниченная функция в и Покажем, что удовлетворяет всем условиям теоремы п. 1.4. Из (1.10), (1.11) вытекают условия (1.4.2), (1.4.3) для Кроме того,

при согласно (1.9). Так что для имеет место и условие (1.4.1). По теореме п. почти всюду.

Для этой теоремы и приводимых ниже следствий из нее, как и для теоремы п. 1.4, не нужно условия сильной эллиптичности — условия (2.1.2). Достаточно, чтобы выполнялось условие (1.2.6).

Следствие 1 (принцип монотонности). Если то любые два ограниченные решения задач соответственно связаны неравенством почти всюду в

Очевидно, функции удовлетворяют всем условиям теоремы в силу соотношений (1.5), (1.6).

Следствие 2 (теорема единственноеги). Ограниченное решение задачи единственно.

Согласно следствию 1 для любых двух ограниченных решений их и задачи должны выполняться неравенства их почти всюду, так что их почти всюду.

Следствие 3 (теорема об ограниченности). Если ограниченные функции имеющие след при (см. (1.2.4)), удовлетворяют неравенствам:

для любой функции и любого то решение задачи почти всюду в области удовлетворяет неравенствам

Действительно, пары функций в силу (1.5), (1.6) и (1.12) — (1.14) удовлетворяют условиям теоремы. Поэтому имеет место (1.15).

Определение 2. Ограниченные функции удовлетворяющие условиям будем называть соответственно верхней и нижней функциями задачи

Замечание. Если коэффициенты дифференцируемы, функции достаточно гладкие в области и имеет смысл выражение для то (1.14) вытекает из следующих неравенств (см. (1.1)):

Предоставляем это проверить читателю.

При построении решения задачи используются следующие простые свойства решения, а также верхней и нижней функций.

Лемма 1 (о продолжении). Пусть и пусть решение задачи в области -решение задачи в области с начальным условием

Тогда почти всюду в области функция

принадлежит пространству и является решением задачи в области

Функции предполагаются ограниченными. Доказательство этого простого утверждения предоставляем читателю.

Лемма 2 (о сужении). Пусть Верхняя и нижняя функции задачи в области остаются таковыми для задачи в области если только

Доказательство. Условия (1.16), (1.13) и (1.14) при означают, что и являются верхней и нижней функциями задачи в области Поэтому достаточно показать, что неравенства (1.14) сохраняются при замене на для

Пусть произвольная функция из Положив при

при любом мы имеем функцию из для которой (1.14) имеет место. Разбивая каждый из интегралов по в (1-14) на сумму

при легко убедиться, что интеграл по области стремится к нулю. В пределе получаем

при любом и любой функции

Отсюда следует утверждение леммы.