4. Самосопряженные операторы.

Пусть -линейный ограниченный оператор, действующий в гильбертовом пространстве X и определенный на всем пространстве.

Определение. Оператор называется самосопряженным, если он совпадает со своим сопряженным:

В силу определения сопряженного оператора это значит, что

Самосопряженный оператор называют также симметричным.

Примеры 1 Пусть где гильбертовы пространства Тогда оператор действует в пространстве Из равенств (3 4) и (3 1) получаем

Следовательно, самосопряженный оператор.

Точно так же доказывается, что оператор действующий в пространстве является самосопряженным

2 Рассмотрим симметричную квадратную матрицу А порядка Определенный оператор, действующий в пространстве является самосопряженным (см п. 2, пример 1)

3 Интегральный оператор (2 2) является самосопряженным, если его ядро симметрично

Это следует из вида (2 3) сопряженного оператора