4. Сопряженная задача.
При изучения вопросов разрешимости уравнений мы видим (см. приложение), что условие разрешимости уравнения формулируется с помощью решений сопряженного уравнения. Оказывается, что аналогичная ситуация имеет место и для граничных задач, еелн только должным образом сформулировать сопряженную задачу.
В качестве наводящего соображения для формулировки сопряженной задачи поставим вопрос следующим образом. Рассмотрим задачу А при однородных граничных условиях 
Существует ли граничная задача такая, что для разрешимости задачи А необходимо выполнение следующего условия:
для всех решений 
такой задачи. Ответ на этот вопрос может быть получен с помощью второй формулы Грина (3.2).
Именно, если мы подберем функцию 
так, чтобы 
во всех точках области 
и чтобы функция 
удовлетворяла следующим соотношениям на границе: 
при 
при то равенство (4.1) будет непосредственным следствием формулы (3.2).
Эти наводящие соображения приводят к следующей формулировке сопряженной задачи, которую мы назовем задачей А.
Задача А состоит в нахождении решения 
уравнения
в области 
удовлетворяющего следующим условиям на границе:
Здесь 
определяются равенствами (3.3) и (3.4); 
функция, заданная в области 
функции, заданные на 
соответственно.
Если мы сравним выражения для 
даваемые равенствами (1.6) и (3.3), то мы заметим, что уравнение (4.2) того же вида, что и (1.5). Точно так же сравнение граничных условий задачи 
с граничными условиями задачи А показывает, что и граничные условия аналогичны.
Таким образом, задача А имеет такой же вид, что и А. Поэтому мы можем сформулировать задачу, сопряженную к задаче 
Мы предоставим читателю проверить, что задача, сопряженная к 
совпадает с задачей 
Граничную задачу будем называть однородной, если правые части равны нулю. Таким образом, в однородной задаче 
В однородной задаче 
Как уже указывалось выше, для разрешимости задачи 
когда 
необходимо, чтобы выполнялось условие (4.1) для всех решений 
однородной задачи А. Аналогично с помощью формулы Грина можно написать необходимое условие разрешимости задачи 
без предположения, что 
равны нулю. Это условие также будет выглядеть как условие «ортогональности» в некотором смысле правых частей 
по всем решениям 
однородной задачи А. Читатель сам может легко их получить. Далеко не тривиальным оказывается тот факт, что так полученные необходимые условия являются также и достаточными для разрешимости задачи 
Это будет доказано в следующем параграфе.
Все сказанное выше без труда переносится на системы уравнений, если, конечно, сделать очевидные изменения. Так, в граничном условии (2.10) нужно в качестве 
понимать квадратную матрицу порядка 
При переходе к сопряженной задаче все матрицы 
следует заменить на транспонированные. В формулах Грина (3 1) и (3.2) произведения под знаками интегралов нужно заменить скалярными произведениями в 
