2. Метод функций Ляпунова.

Пусть точка является точкой равновесия автономной системы уравнений

которую нужно исследовать на устойчивость.

Определение 1. Для произвольной функции определенной и непрерывно дифференцируемой при функцию

назовем производной функции в силу системы (2.1).

Основанием для такого определения служит то, что для решения системы (2.1), проходящего через точку х в момент времени имеет место

Правая часть как функция нам известна, и мы можем судить, в частности, о знаке функции в окрестности Иногда этой информации бывает достаточно, чтобы из (2.3) делать заключение об устойчивости или неустойчивости точки

Определение 2. Функция называется первым интегралом системы (2.1), если

Согласно (2.3) первый интеграл сохраняет постоянное значение вдоль любого решения системы (2.1). Знание его бывает весьма полезно при исследовании уравнений. Однако нахождение первых интегралов сводится к решению уравнения в частных производных

и является обычно сложной задачей.

Функцию в шаре назовем положительно-определенной (отрицательно-определенной), если при будем называть неположительной (неотрицательной) при если

Теорема 1. Пусть точка равновесия системы (2.1) и в шаре существует непрерывно дифференцируемая положительно-определенная функция с неположительной производной в силу системы (2.1). Тогда точка устойчива.

Если при этом отрицательно определена в шаре то точка асимптотически устойчива.

Доказательство. Пусть задано Положим

Очевидно, Выберем столь малое чтобы

Это возможно, так как при Пусть решение системы Так как — невозрастающая функция то для имеем априорную оценку

В силу произвольности это и означает устойчивость Очевидно, для любого такого существует

Покажем, что если отрицательно определена. Допустим, что это не так. Тогда для некоторого и траектория расположена в области в которой Но тогда согласно (2.3) при

и, следовательно, что противоречит положительности Таким образом, если при теперь вытекает, что в каждой -предельной точке х решения Но так как обращается в нуль лишь при то при любом имеет место

Асимптотическая устойчивость точки а тем самым и теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть точка равновесия системы (2.1), некоторая область часть ее границы, лежащая в шаре причем точка лежит либо в либо на Пусть непрерывно дифференцируемая функция положительна в области вместе с производной в силу системы при Тогда точка неустойчива.

Доказательство. Зафиксируем и пусть — часть лежащая в шаре часть лежащая в шаре Пусть Тогда Рассмотрим решение

Рис. 5

Функция возрастает по поэтому не может выйти на где Остаются две возможности:

1) остается в области при t > 0;

2) покидает область через границу (см. рис. 5). Предположим, что имеет место 1). Тогда остается в той части где В этой области имеет положительный минимум так что

Отсюда следует, что значит, неограниченно возрастает при Это невозможно в области поэтому остается одна возможность — 2), т. е. какова бы ни была точка существует что Это и означает, что точка неустойчива.

Функцию удовлетворяющую условиям теоремы 1 или теоремы 2, называют функцией Ляпунова для системы (2.1). С ее помощью, таким образом, можно определить устойчивость или неустойчивость точки равновесия. Построение функции Ляпунова требует использования специфики данной системы.