11. Пространство (С) ограниченных непрерывных функций.

Продолжим изучение пространства ограниченных функций, заданных на множестве X, со значениями в нормированном пространстве Однако мы не будем теперь считать множество X произвольным, а будем предполагать, что X есть множество элементов некоторого нормированного пространства В.

Определение. Функция заданная на множестве X, со значениями в нормированном пространстве называется непрерывной в. точке если для любой последовательности элементов множества X, сходящейся к по норме пространства В, последовательность сходится к элементу по норме пространства т. е. если в 0, то (индекс указывает, в каком пространстве берется норма).

Функция называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Обозначим через С множество всех ограниченных непрерывных функций, заданных на множестве X, со значениями в пространстве Непосредственно из определения непрерывной функции следует, что С есть линейное пространство — подпространство линейного пространства Является ли оно подпространством нормированного пространства образует ли пространство С замкнутое множество в Утвердительный ответ будет следовать из теоремы (равномерная сходимость понимается как сходимость по норме (10.11)).

Теорема. Предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных ограниченных функций есть непрерывная ограниченная функция.

Доказательство. Пусть есть последовательность элементов пространства С, сходящаяся по норме (10.11) к функции Покажем, что непрерывна в каждой точке Пусть произвольная последовательность точек множества X, сходящаяся к по норме пространства В. Тогда имеем следующую оценку Учитывая определение нормы (10.11), получим

Пусть произвольное положительное число. Выберем настолько большим, чтобы выполнялось неравенство Затем выберем число настолько большим, чтобы при имело место неравенство что возможно в силу непрерывности функции Из (11.1) получаем при всех Непрерывность функции установлена. Теорема доказана.

Из теоремы следует, что С есть подпространство нормированного пространства Действительно, для доказательства замкнутости множества С достаточно установить (см. п. 5, теорема), что всякая последовательность элементов множества С, сходяшаяся в имеет своим

пределом точку множества С. Но это есть следствие доказанной теоремы.

Заметим, что если есть полное пространство, то С также является полным пространством как подпространство полного пространства (см. п. 8).