3. Теорема Понтрягина-Родыгина.

В случае б), когда решение системы (1 6) выходит при на устойчивое периодическое решение периода приближенное значение явно зависит от и говорить о пределе при решения системы (1.4), (1.5) не приходится. После подстановки в (1.5) для нахождения у мы также получаем уравнение, зависящее от

Оказывается, однако, можно построить приближенное (с точностью до ) решение системы (3.1), не зависящее от Процедура построения такого приближенного решения широко применяется в теории нелинейных колебаний [36] и известна под названием метода осреднения. Смысл этого метода состоит в том, что в разложении в ряд Фурье по периодической по (периода правой части (3.1)

отбрасываются быстроколеблющиеся члены при и решается приближенное уравнение

Такая процедура равносильна, очевидно, осреднению по периоду правой части (3.1), т. е.

Естественно ожидать, что отбрасываемые члены разложения (3.2) вследствие их быстрой пульсации дают малый вклад в решение уравнения (3.1) типа «мелкой дрожи» на фоне плавного изменения решения системы (3.3).

Заметим, что наряду с при любой скалярной функции стационарным решением системы (1.6) является функция

описывающая при фиксированном у ту же траекторию, но отличающаяся, быть может, началом отсчета вдоль этой траектории.

Выбрав должным образом функцию в (3.4), приближенное решение системы (1.4), (1.5) можно записать в виде

Здесь — решение системы (3.3), — период по функции а быстро меняющаяся функция («фаза») имеет вид

где некоторая функция.

Теорема (Понтрягин, Родыгин [41, 42]). Пусть изолированный устойчивый предельный цикл системы (1.6), его период по при каждом у из некоторой области причем траектория кривой является -предельным множеством для решения задачи (1.6) при Пусть, далее, решение системы (3.3) остается в области при

Тогда существует гладко зависящая от функция такая, что равномерно ее решение системы

Помимо того что формулы (3.5), (3,6) определяют приближенное решение системы (1.4), (1.5), теорема утверждает, что компонента решения системы (1.4), (1.5) совершает быстрые колебания, «следя» за эволюцией цикла системы (1.6) вдоль кривой Эти колебания в общем случае не являются периодическими.

Замечание 1. Если асимптотически устойчивое положение равновесия системы (3.3), то система (1.4), (1.5) имеет устойчивое периодическое решение, которое с точностью до согласно (3.5) может быть записано в виде

Период этого решения отличается от периода функции на величину порядка

Замечание 2. Теоремы Тихонова и Понтрягина — Родыгина справедливы и для неавтономной системы (1.4), (1.5), когда

Этот случай введением дополнительной переменной сводится к автономной системе:

Роль переменной у при этом играет вектор-функция

Эти теоремы остаются в силе и при регулярной зависимости от как функций так и начальных данных

Теоремы Тихонова и Понтрягина — Родыгина дают важный метод качественного исследования и приближенного решения уравнений. Некоторые их применения приводятся в гл. XI, XII.