Глава VI. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
1. Задача Коши.
Мы будем рассматривать систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенную относительно производных:
Здесь точка обозначает дифференцирование по 
известные функции переменных 
неизвестные функции, подлежащие определению.
Для краткости мы будем употреблять векторную запись системы 
где 
вектор-функции со значениями в евклидовом пространстве 
Чаще мы, однако, будем опускать слово вектор и говорить просто о функциях.
Любая функция 
обращающая в тождество (по 
соотношение (12) в некоторой области изменения переменной 
называется решением системы (1.2) в этой области.
Геометрически решение системы (1.2) представляет собой кривую в пространстве 
в каждой точке которой вектор 
является касательным. Можно дать и кинематическое истолкование решения как траектории движущейся точки. При этом переменную 
отождествляют со временем, а вектор 
приобретает смысл скорости движущейся точки.
Обычно требуется найти решение 
удовлетворяющее некоторым дополнительным условиям. Мы будем рассматривать условие вида
называемое обычно начальным. Отыскание решения 
системы (1.2), удовлетворяющего условию вида (1.3), называют задачей с начальным условием, или задачей Коши. Если нужно подчеркнуть, что данное решение 
удовлетворяет начальному условию (1.3), вместо 
будем писать 
Основная теорема теории дифференциальных уравнений состоит в том, что при некоторых довольно слабых ограничениях на уравнения (т. е. на 
решение 
существует и оно единственно. Точная формулировка и доказательство этой теоремы приводятся в следующем пункте
Задача Коши для уравнений и систем высших порядков вида
где у — либо скаляр, либо вектор, определяется заданием дополнительных условий вида
С помощью обозначений
такая задача сводится к задаче Коши для системы первого порядка
с начальным условием 
при 
Решение 
этой задачи определяет 
и все ее производные до порядка 
Таким образом, при исследовании задачи Коши без ограничения общности можно рассматривать системы первого порядка.
