где 
есть эллиптический оператор при каждом фиксированном 
(см. п. VII.1.1). Мы ограничимся рассмотрением случая
где в общем случае 
Пусть 
- ограниченное открытое множество с конечным периметром, 
его существенная граница. В пространстве переменных 
будем рассматривать цилиндрические области
Будем предполагать 
и для случая 
писать 
вместо 
Пусть пока коэффициенты 
— достаточнв гладкие функции, заданные в области 
Точные условия будут сформулированы ниже.
Известно, что без дополнительных ограничений искомая функция 
из уравнения (1.2) определяется неоднозначно. Например, при 
любое решение эллиптического уравне 
оказывается решением уравнения (1.2). Это подсказывает, что в полном соответствии с эллиптическими уравнениями можно задавать дополнительные граничные условия.
Будем считать, что граница 5 области 
разбита на непересекающиеся измеримые по мере 
множества 
и что граничные условия имеют следующий вид:
Здесь 
заданные функции 
их,
единичный вектор внешней нормали к 
В частности, одно из множеств 
или 
может быть пустым. Тогда другое совпадает с 5. При 
говорят о граничном условии первого рода или о первой краевой задаче. При 
говорят о краевом условии третьего рода или о третьей краевой задаче. В частном случае 
говорят об условии второго рода или о второй краевой задаче. Смешанные условия (1.5), (1.6) имеют, таким образом, наиболее общий характер. Их мы и будем рассматривать.
Оказывается, граничных условий (1.5), (1.6) еще недостаточно для однозначного определения 
Так, например, в случае 
и граничном условии второго рода 
любое решение обыкновенного дифференциального уравнения и 
удовлетворяет уравнению (1.2) и заданному граничному условию. Это подсказывает, что как и для обыкновенных уравнений можно задавать дополнительное начальное условие, в общем случае зависящее от 
Не следует, однако, думать, что, как и обыкновенные уравнения, параболическое уравнение при любом начальном условии вида (1.7) можно решать в области 
Если обыкновенное уравнение в окрестности
не меняет свойств при замене 
на 
то такая замена, скажем, в уравнении (1.1), приводит к уравнению 
не являющемуся параболическим. Таким образом, нарушается основное свойство уравнения и это приводит к некорректности задачи. Глубокий физический смысл сказанного состоит в том, что параболические уравнения описывают необратимые процессы: но состоянию в данный момент времени можно предсказать будущее, но, вообще говоря, нельзя узнать предысторию процесса.
Сказанное означает, что если мы хотим найти решение уравнения (1.2) в области 
то начальное условие следует задавать при 
вообще говоря, нельзя задавать при 
или каком-нибудь промежуточном значении 
Главная задача излагаемой ниже теории параболических уравнений — показать корректность задания условий (1.5) — (1.7), т. е. показать, что при некоторых ограничениях на заданные функции уравнение (1.2) при условиях (1.5) — (1.7) имеет единственное решение. При этом, как и в случае эллиптических уравнений, мы развиваем концепцию обобщенного решения, что не только позволяет ставить граничные задачи при весьма слабых ограничениях на область 
и заданные функции, но и существенно упрощает их исследование и построение решения, избавляя от необходимости доказывать излишнюю гладкость решений.
Трудный вопрос о гладкости решений на этом пути отделяется от вопросов о разрешимости и единственности и, когда это необходимо, может быть исследован самостоятельно. Разумеется, когда задача имеет гладкое решение, оно же и будет обобщенным решением.
переменных 
Такие уравнения появляются при описании многих нестационарных процессов (теплопередачи, диффузии и т. д.). При этом переменная 
означает время, 
пространственные координаты. Уравнение (1.1) можно трактовать как вырождающееся эллиптическое уравнение в пространстве 
переменных 
(коэффициенты при производных 
равны нулю). Однако без развитой теории вырождающихся эллиптических уравнений такая трактовка мало содержательна, и параболические уравнения требуют специального изучения. Общее линейное уравнение параболического типа, разрешенное относительно производной 
имеет вид
